Konstante bei gleichmäßig stetigen Funktionen

Question

Aufgabe:

Zeige, ist \( f:[0, \infty) \longrightarrow[0, \infty) \) gleichmäßig stetig mit \( f(0)=0 \), so gibt es eine Konstante \( \mathrm{K}>0 \) mit

\( f(x) \leq 1+K \cdot x \)

für alle \( x \in[0, \infty) \).

Answer 1

Hi, wegen der gleichmäßigen Stetigkeit gibt es zu jedem \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta(\epsilon) > 0 \) s.d. für alls \(x, y\) mit \( |x-y|<\delta(\epsilon) \) gilt, \(|f(x)-f(y)|<\epsilon \)
Sei \( K \in \mathbb{N_0} \) die grösste natürliche Zahl mit \( K\cdot \frac{\delta}{2} < x \)
und sei \( x_k = k\cdot \frac{\delta}{2} \), dann gilt,
$$ f(x) = \left| \sum_{k=0}^{K-1} \left[f(x_{k+1})-f(x_k)\right]+f(x)-f(x_K) \right| \le \sum_{k=0}^{K-1} \left| f(x_{k+1}-f{(x_k)} \right|+|f(x)-f(x_K)| \le (K+1)\epsilon $$ weil \( |x_{k+1}-x_k| = (k+1)\frac{\delta}{2}-k\frac{\delta}{2} = \frac{\delta}{2} < \delta  \) und \( |x-x_K|<\delta| \) gilt. Weil \( K < \frac{2}{\delta}x \) gilt, folgt $$ f(x) < \left( \frac{2}{\delta}x+1\right)  \epsilon $$ Mit \( \epsilon = 1 \) folgt die Behauptung mit der Konstanten \( \frac{2}{\delta} \)