Beweis: Produkt von zwei gleichmäßig stetigen Funktionen

Question

Aufgabe:

Sei I ein Intervall (I Teilmenge von R) und f, g: I -> R gleichmäßig stetig. Sei M > 0 eine Konstante mit der Eigenschaft, dass für alle x element R gilt

|f(x)| ≤ M und |g(x)| ≤ M.

Zeigen Sie, dass das Produkt fg gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

f, g gleichmäßig stetig => f, g stetig => (Produkt zweier stetiger Funktionen) fg stetig

|f(x) g(x)| ≤ MM <=> |fg(x)| ≤ M^2 => fg(I) beschränkt

Es bleibt noch zu beweisen, dass fg gleichmäßig stetig ist. Ich habe versucht, "fg nicht gleichmäßig stetig" zu einem Widerspruch zu führen. Ich habe auch versucht, die Lipschitz-Stetigkeit zu beweisen, weil man daraus die gleichmäßige Stetigkeit folgern könnte. Allerdings komme ich im Endeffekt mit dem oben stehenden Ansatz nicht weiter.

Hat jemand eine Idee für einen Ansatz?

Liebe Grüße

Answer 1

in der 2. Zeile ist ein Druckfehler, richtig: "dass für alle x ∈ I gilt"

Bew:

f gleichmäßig stetig heißt: Sei ε>0 vorgeg., dann ex. δ_f>0, so dass gilt:

Ix-yI< δ_f ⇒If(x)-f(y)I < ε

g gleichmäßig stetig heißt: Sei ε>0 vorgeg., dann ex. δ_g>0, so dass gilt:

Ix-yI< δ_g ⇒Ig(x)-g(y)I < ε

Setze δ:=min(δ_f,δ_g), dann gilt:

Sei ε>0 vorgeg., dann ex. δ>0, so dass gilt: Ix-yI< δ ⇒If(x)-f(y)I < ε und Ig(x)-g(y)I < ε

Außerdem sind f und g beschränkt, also If(x)I, Ig(x)I ≤ M

Also:

I(fg)(x) - (fg)(y)I = If(x)g(x) - f(y)g(y)I = If(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)I 

= If(x)[g(x) - g(y)] + [f(x) - f(y)]g(y)I          jetzt Δ-Ungl.

≤ If(x)[g(x) - g(y)]I + I[f(x) - f(y)]g(y)I = M Ig(x) - g(y)I + M If(x) - f(y)I < Mε + Mε = 2Mε =ε*.

Sei ε*>0 vorg. (berechne daraus ε =ε*/(2M), daraus δ), dann ex δ>0 ...