Teilbarkeitsbeweise- Warum gilt folgende Formel nicht?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe folgende Formel vor mir liegen und soll beweisen, ob diese gilt oder nicht

" Aus a₁|b₁ und a₂|b₂ folgt (a₁ + a₂)|(b₁ + b₂)."

Problem/Ansatz:

Ich habe herausgefunden, dass diese Formel nicht gilt, da 0|3 && 2|4 , doch es folgt nicht 2|7.

Meine Frage nun: Wie kann man formal beweisen, dass dies nicht gilt? Denn wenn ich sage dass b₁ = a₁*k und b₂ = a₂*i folgt theoretisch, dass b₁+b₂ = a₁·k + a₂·i ⇒ b₁+b₁ = ki* (a₁+a₂) . Dies hieße es ja rein theoretisch , dass a₁ und a₂ Vielfache von b₁+b₂ sind und somit teilbar sind. Sodass man hier sagen könnte, dass die gilt. Tut es ja nicht, wie ich am obigen Beispiel gezeigt habe.

Nun weiß ich nicht, wie ich das allgemein ohne Zahlen belegen kann, weil ich noch nicht verstehe warum diese Formel an sich nicht gilt, wenn es doch theoretisch möglich ist (laut meiner theoretischen Berechnung). Kann mir einer sagen, warum die Formel nicht gilt und meinen Ansatz (ohne Zahlen ) verbessern?

Answer 1

Meine Frage nun: Wie kann man formal beweisen, dass dies nicht gilt?

Hast du schon. Beweisen, dass etwas NICHT gilt kann man

immer durch Angabe eines Gegenbeispiels.

Denn wenn ich sage dass b1 = a1*k und b2 = a2*i

folgt theoretisch, dass b1+b2 = (a1*k) + (a2*i)

=> b1+b1 = ki* (a1+a2) .  Da liegt der Fehler !

Ausklammern kann man nur, wenn beide Summanden

den GLEICHEN Faktor enthalten

(Distributivgesetz ) )

Answer 2

Deine Folgerung b₁+b₂ = a₁·k + a₂·i ⇒ b₁+b₂ = ki* (a₁+a₂) ist selbst nach Korrektur der 1 in eine 2 falsch. Dein Gegenbeispiel ist dagegen für ein Widerlegen ausreichend.

Comments

Das mit dem Gegenbeispiel ist mir klar, doch ich verstehe nicht, warum es allgemeingültig nicht gilt. Daher meine Frage, wie man die Unrichtigkeit formal beweisen kann. LG

Answer 3

da 0|3

Das ist falsch. 0 ist kein Teiler von 3, sonst dürftest du ja 3 durch 0 dividieren und das wollen wir nicht erleben...

3|6 ; 5|5 , aber 8 ist kein Teiler von 11.

Ein Gegenbeispiel reicht, um die Formel zu widerlegen.

Comments

Das mit dem Gegenbeispiel ist mir klar, doch ich verstehe nicht, warum es allgemeingültig nicht gilt. Daher meine Frage, wie man die Unrichtigkeit formal beweisen kann. Denn es kann ja i =k gelten und dann könnte ich ausklammern und trotzdem wäre es ja wg. dem Gegenbeispiel falsch. Daher ruht die Frage auf den allgemeinen Beweis. LG

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Man beweist die Unrichtigkeit formal durch die Angabe eines Gegenbeispiels.

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Wenn eine Aussage nicht allgemeingültig ist, kann sie in Spezialfällen richtig sein.

Einige Beispiele:

2+2=2*2=2²  Trotzdem gilt im Allgemeinen: a+a≠a*a≠a^a

19/95 Ich kürze die 9, also 19/95=1/5    ;-)

Da 12/25≠1/5 ist, darf natürlich nicht so gekürzt werden.

Warum willst du also solche Spezialfälle suchen?