Ich Verstehe nicht ganz wie man die Grenzwerte von Folgen dieser 3 Aufgaben herausfindet.

Question

Aufgabe 1: $$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{3n²}{4n-1}-\frac{3n²}{4n+2})$$

Aufgabe 2: $$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{\sqrt{n²+2n-1}+2n-3}{7n+6})$$

Aufgabe 3: $$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{5n^7}{2-6n^6-4n^7}+\frac{8n^6}{5+2n^5+n^6})$$

Problem/Ansatz :

Mein Problem ist das ich nicht komplett verstehe wie ich vorgehen muss,

zb. die komm ich bei der Aufgabe 1. zu diesen Schritt :

$$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{3n^2(4n+2)-3n^2(4n-1)}{(4n-1)(4n+2)}$$

und schaffe es auch den unteren teil mit der 3 Binomischen Formel zu berechnen, der obere teil wiederum bringt mir kopfschmerzen

Bei den anderen beiden Aufgaben bin ich nicht so weit , und habe noch keinen anhang

mfg NTs

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2}{4n-1}-\frac{3n^2}{4n+2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2(4n+2)-3n^2(4n-1)}{(4n-1)(4n+2)}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{12n^3+6n^2-12n^3+3n^2}{(4n-1)(4n+2)}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{9n^2}{(4n-1)(4n+2)}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{9\frac{n^2}{n^2}}{\frac{(4n-1)}{n}\cdot\frac{(4n+2)}{n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{9}{\left(4-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(4+\frac{2}{n}\right)}\right)=\frac{9}{16}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{n^2+2n-1}+2n-3}{7n+6}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}+2n-3}{n}}{\frac{7n+6}{n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+2-\frac{3}{n}}{7+\frac{6}{n}}\right)=\frac{3}{7}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{5n^7}{2-6n^6-4n^7}+\frac{8n^6}{5+2n^5+n^6}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{5}{\frac{2}{n^7}-\frac{6}{n}-4}+\frac{8}{\frac{5}{n^6}+\frac{2}{n}+1}\right)$$$$=-\frac{5}{4}+\frac{8}{1}=\frac{27}{4}$$

Comments

Hey Danke Sehr für die Rechenwege !

Jetzt kann ich mir dransetzten und andere Aufgaben lösen

und es langsam aber sicher auf meiner weise verstehen :)

Answer 2

$$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{3n^2(4n+2)-3n^2(4n-1)}{(4n-1)(4n+2)}$$

und schaffe es auch den unteren teil mit der 3 Binomischen Formel zu berechnen,

der obere teil wiederum bringt mir kopfschmerzen

3. binomi klappt nicht, weil in der einen Klammer +2 und in der anderen -1

steht. Das müssen schon die gleichen Beträge sein.

Aber du kannst doch einfach die Klammern oben und unten auflösen,

das gibt

$$\frac{9n^2}{16n^2 +4n -2 }$$

also Grenzwert 9/16

Comments

Bemerke das grade auch , ich hatte davor eine andere Aufgabe wo es mit der 3ten Binomischen Formel ging , und habe ohne auf die neue Aufgabe zu achten das geschrieben.

Ich scheine aber irgendwie nicht zu verstehen wie man jz auf den obrigen teil gekommen ist

also wie hat man oben die Klammer aufgelöst?

( und wie würden dan die anderen Aufgaben gehen , da bei Nr.2 da eine Wurzel ist und Nr3. es unten schon sozusagen "ausgerechnet" ist)

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Okay ich habe es endlich verstanen wie die Aufgabe .1 geht

Danke nochmal dafür

aber weißt du vielleicht auch wie ich die Aufgabe 2. / 3. lösen könnte ?

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Aufgabe 2 Erweitern mit

√(n^2 + 2n -1) - ( 2n-3) und dann 3. binomi.

Bei 3 beide Summanden einzeln betrachten gibt Grenzwert

-5/4   +  8 .

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leider verstehe ich nicht ganz was du mit "erwitern" meinst.

von Mathe Regeln aus her bin ich schwach dran, falls du das unfomulieren könntest oder mir den "rechenweg" zeigen könntest wäre es super :)

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Erweitern bedeutet :

Zähler und Nenner des Bruches mit dem gleichen Term multiplizieren,

sein Wert ändert sich dadurch nicht.