Dedekindsche Schnitte Beweis!?

Question

Sehr geehrtes Mathe-Forum,

ich stehe vor einer kleinen Schwierigkeit. Ich soll nämlich folgendes Beweisen:

 

Mit (a) komme ich gar nicht zurecht bzw. verstehe ich überhaupt gar nicht den Sinn der Aufgabe... Die Voraussetzungen sind doch gerade der Beweis dafür? Wie soll ich das denn formal hinschreiben?

Und auch (b) ist doch eine einfache Folgerung aus (a), oder?

LG

cheese

Comments

Aus den Voraussetzungen kann man (a) beweisen, klar. Den Beweis musst Du schon selber ausformulieren. Und (b) ist keine "triviale" Folgerung aus (a). Sonst waere die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen a la Dedekind ja auch voellig trivial. Der Sinn der Aufgabe beruht darin zu zeigen, dass die nochmalige Anwendung der Schnittprozedur auf die reellen Zahlen nichts neues ergibt: es bleibt bei den reellen Zahlen.

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Aber genau diese Ausssage ist doch schon in den Voraussetzungen getroffen worden, also in (iv). (b) ist doch also nur eine Folgerung aus (iv), oder?!

Answer 1

zu a etwa so:
sei x aus U und y aus R \ U , die gibt es wegen (i) und (iii) .
Angenommen es wäre x ≥ y
dann wäre x=y   (Widerspruch zu U ∩ ( R \ U ) = { }
oder x >y    dann also x aus U und y<x und damit nach (ii) y aus U.
            im Widerspruch zu y aus R \ U .

Da die Annahme x ≥ y also nicht stimmt, ist x<y q.e.d.

zu b)  hattest du schon einen Kommntar.