Man zeige, dass F linear ist. Man ermittle die die Abbildung F darstellende Matrix. Man bestimme den Kern von F.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Abbildung

\( \begin{aligned} F: \quad \mathbb{R}^{3} & \rightarrow \quad \mathbb{R}^{3} \\ v & \mapsto \quad F(v):=v \times\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \end{aligned} \)

Dabei bezeichnet \( v \times w \) das Vektorprodukt der beiden Vektoren \( v, w \in \mathbb{R}^{3} \).

(a) Man zeige, dass \( F \) linear ist.

(b) Man ermittle die die Abbildung \( F \) darstellende Matrix \( M_{\mathcal{K}}^{K}(F) \), wobei \( \mathcal{K}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \) die kanonischen Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

(c) Man bestimme den Kern von \( F \) und das Bild von \( F \) jeweils durch die Angabe einer Basis.

Answer 1

zeige einfach, dass F(v+w) = F(v) + F(w)
das liegt am Distributivgesetz für das Vektorprodukt
und  F ( x*v) = x * F(v) das liegt daran, dass man beim
Vektorprodukt aus einem Vektor einen Faktor rausziehen
kann.

berechne F(e1) = (0;-1;-1)
F(e2)= (1;0;-1)
F(e3)=(1;1;0)
also Matrix
0   1   1
-1  0   1
-1  -1  0
denn in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.

Kern von F sind alle, die auf den Nullvektor
abgebildet werden, das sind die Vielfachen von (1;-1;1)
denn Vektorprodukt = Nullvektor heißt
ja beide Faktoren sind lin. abh.
und Bild(F) sind alle die, die als
Ergebnis rauskommen, also die auf (1;-1;1)
senkrecht stehen. Eine Basis etwa
(1;1;0) und ( 0;1;1).

Comments

Wie berechnest du die F von (e1,e2,e3)  und bekommst folgende Vektoren?

Und was nehme ich damit ich zeigen kann, dass es linear ist?

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F (v+w) =  (v+w) x (1/-1/1) = v x  (1/-1/1)    +   w x   (1/-1/1)

Distributivgesetz.

und bei  (1/0/0) x ( 1 /-1/1) rechnest du ( Def. Vektorprodukt

(   0*-1  -  0*1   ;    1*0 - 1*1  ;    1*-1 - 0*1)

=            (  0    ;       - 1    ;    -1  )

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Also, wie ich das verstanden habe, ich habe folgendes gemacht:

a) F(v+w) = (v+w) * (1,-1,1) = v * (1,-1,1) + w * (1,-1,1) = F(v) + F(w)

F(x*w)= x * F(w) 

Hiermit habe ich gezeigt, dass es linear ist?

b) hab ich berechnet, laut Def.Vektorprodukt, und das ist meine darstellende matrix

F(e3) ist bei mir (-1,1,0)

c) Wie geht es genau? könntest du mir noch ein bisschen erläutern :)

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F(x*w)= x * F(w)    Das müsstest du noch etwas ausführen

wie man das aus den Eigenschaften des Vektorproduktes begründen kann.

Hiermit habe ich gezeigt, dass es linear ist?     Ja!

b) hab ich berechnet, laut Def.Vektorprodukt, und das ist meine darstellende matrix

F(e3) ist bei mir (-1,1,0)    Nimm mal genau die Definition, gibt wirklich (+1,1,0)  

c) Wie geht es genau? könntest du mir noch ein bisschen erläutern :)

Weisst du denn was Kern und Bild überhaupt bedeuten,
lies mal die Def. nach. und bedenke dann
1. Vektorprodukt ergibt den Nullvektor genau dann, wenn die
beiden Faktoren lin. abh. sind
2. Der Ergebnisvektor des Vektorprod. steht immer auf beiden Faktoren senkrecht,
da der erste Faktor hier aber irgendwas aus R^3 ist, sind die Ergebnisse alle
Vektoren, die auf (1/-1/1) senkrecht sind.