Ist 2 ein Eigenwert von A= ((1,0,2) (0,2,0) (2,0,1))?

Question

A= (1,0,2) (0,2,0) (2,0,1). A ist eine 3x3-Matrix und die Vektoren sind die Zeilen. Man soll auch prüfen, ob die folgenden Eigenvektoren zu A gehören, aber nicht unbedingt dafür Determinanten zu berechnen. (1,0,2) (-1,0,1) (1,-1, 2) (1,0,1) Die Vektoren sind alle transponiert, weil die Zeilenvektoren einfacher einzutippen sind. Mfg und danke.

Comments

Was ist denn ein Eigenwert? Ich denke wenn du das weißt ist die Aufgabe mithilfe des kleinen 1x1 lösbar.

Answer 1

ich berechne den zu 2 gehörigen Eigenvektor. Falls es ihn gibt, ist 2 ein Eigenwert.

Ansatz

A(x/y/z)^T = 2(x/y/z)^T

x+2z = 2x  → 2z=x

2y = 2y → y=t

2x+z = 2z → 2x =z ,

          |x einsetzen

4z = z. z=x=0

Eigenvektor (0/t/0) also z.B. (0/1/0).

Fazit 2 ist ein Eigenwert.

Fortsetzung der Aufgabe: benutze zB den Ansatz

A(x/y/z)^T = k(x/y/z)^T

setze (x/y/z) ein und prüfe, ob du eindeutig ein k findest, das bei allen 3 Komponentengleichungen passt.

Comments

Wie kann 2y = 2y  umgeformt y = 1 sein.

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Ich müsste wohl y=t schreiben.

Und hätte dann den Eigenvektor. (0/t/0)

Also wieder (0/1/0). Oder?

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Ja,  t wäre dann Element von R. Aber gäbe es dann zu dem Eigenwert von 2 nicht unendlich viele Eigenvektoren der Form (0/t/0). Ich dachte zu jedem Eigenwert gibt es immer nur ein Eigenvektor.

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Darf das denn nicht sein, solange die alle in die gleiche Richtung schauen? Ich hab das jetzt mal oben so angepasst und bin gespannt auf die Diskussion.

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Ok das ist richtig weil es eine geometrische Vielfachheit ist. Wolfram Alpha spuckt mir den gleichen

Eigenvektor aus.

Mann muss erst die Themen des Eigenraums dessen Basis und Dimension verstehen.

Anscheinend gibt es dann noch eine algebraische Vielfachheit aber das ist dann alles wieder zu viel

des Guten.

Trotzdem Danke

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Danke auch. Und nötigenfalls mit WolframAlphas Hilfe noch viel Erfolg beim Rest der Aufgabe