Konvergenzverhalten von Rändern des Konvergenzbereichs untersuchen

Question

Man soll den Konvergenzbereich der Reihe angeben:
$$\frac {(x-1)}{1\cdot 2}+\frac  {(x-1)^2}{3\cdot 2^2}+ \frac {(x-1)^3}{5\cdot 2^3}+...$$
Das kann ich, dass Intervall ist [-1;3]
Nun soll man auch die Intervallsgrenzen auf Konvergenz untersuchen. Das kann ich dagegen nicht. Wie macht man das bitte?

Answer 1

Setze

x=-1 und x=3 ein und rechne ein paar Summanden aus.

Im ersten Fall bilden die Summanden voraussichtlich eine alternierende betragsmässig monotone Nullfolge. Daher Konvergenz.

Beim 2. Fall kann man mit der harmonischen Reihe eine divergente Minorante basteln. Daher Divergenz.

Comments

Hallo Lu, besten Dank auf ein Neues!

Answer 2

Komplexe Zahlen können helfen. Setze $$ x=e^{i\phi} $$ und guck dir dann die Konvergenz an

Comments

Wir hatten keine komplexe Zahlen. Heisst das bitte, man kann Konvergenzverhalten an den Grenzen nur mit komplexen Zahlen lösen?

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Nein, das ist nur eine Möglichkeit unter 12049120491209124

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Ich verstehe, trotzdem danke!