Diagonalmatrix D, nilpotente Matrix n, sodass A=D+N

Question

A= \( \begin{pmatrix}  -1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) ∈ M₃(ℂ)

(1) Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D und eine nilpotent Matrix N, sodass A=D+N ist

(2) Berechnen Sie A²⁰¹⁵

Wir haben zwar eine Bemerkung bezüglich (1) (in der Bemerkung stand nur die Erklärung was D und was N ist) aufgeschrieben, allerdings haben wir kein Beispiel behandelt, sodass ich eigentlich keine Ahnung habe, was ich machen soll. Ich habe Google schon durchforstet und zwei oder drei mal genau dasselbe Problem gefunden, aber genauso wenig verstanden, was man machen muss bzw. wie es gemacht werden muss.

Bin soweit gekommen: Eigenere berechnen und die dazugehörigen Vektoren. Habe als Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 3. Dazu dann den Vektor (0,1,1)^T. Das war es auch mit meinem Verständnis.

Kann mir jemand das Verfahren erklären, gerne auch an einer anderen Matrix.

(2)...Also das A jetzt nicht 2015 mal hintereinander multipliziert ist selbstverständlich :D Auch dazu habe ich keine Ansätze.

Comments

Probier mal \(D=I_3\).

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einfach raten oder was ?

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Tipp: Jordan-Normalform, siehe auch http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf da ist es sehr gut erklärt :)

Answer 1

Hi, wie LC gesagt hat ist der Hinweis auf die Jordannormalform zielführend. Die Eigenwerte sind \( \lambda = 1 \)  mit algebraischer Vielfachheit \( 3 \)

Wenn Du die Jordannormalform bestimmt hast erhältst Du die die folgende Darstellung

$$ J = D + N  $$ mit \( D = \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) und \( N = \begin{pmatrix}  0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Die Matrix \( D \) ist mit der Matrix \( N \) vertauschbar und Du must eine Matrix \( V \) bestimmen, mit \(  VJV^{-1} = A \)

Weiter gilt $$ A^n = VJ^nV^{-1} = V (D+N)^n V^{-1}  = V \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} N^k D^{n-k}  $$

Berücksichtigen musst Du noch das \( N^3 = 0 \) gilt. Damit ergibt sich

$$ A^n = V \left[  \binom{n}{0} N^0 D^n + \binom{n}{1} N^1 D^{n-1} + \binom{n}{2} N^2 D^{n-2}  \right] V^{-1}  $$

Comments

grundsätzlich habe ich das verstanden, aber wie bestimme ich denn diese Matrix V?

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Schaumal in dem Link von LC nach, da steht das drin.