Zweidimensionale Funktion Extremwerte Sattelpunkte berechnen.

Question

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist. 

f (x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y für 0 ≤ x, y ≤ π. 

Kann mir da wer bitte helfen?
Danke

Answer 1

          f   (  x  ,  y  )  :=  sin  (  x  +  y  )  +  sin  x  +  sin  y        (  1  )

     Jede Funktion sollt ihr doch immer auf Symmetrien hin untersuchen; Funktion ( 1 ) ist symmetrisch unter Spiegelung an der Winkel Halbierenden ( WH )

              x  <===>  y      (  2  )

      Gradient Null setzen

       f_x  =  cos  (  x  +  y  )  +  cos  (  x  )  =  0       (  3a  )

      f_y  =  cos  (  x  +  y  )  +  cos  (  y  )  =  0         (  3b  ) 

        Gleichsetzungsverfahren

            cos  (  x  )  =  cos  (  y  )        (  4a  )

     Den Definitionsbereich fasse ich auf als das ( kompakte )  Quadrat

        0  <  =  x  <  =  Pi     ;  0  <  =  y  <  =  Pi        (  4b  )

    Auf  ( 4b ) ist die Kosinusfunktion, wie aus der LMNTArgeometrie bekannt ( Kosinussatz ! ) monoton bzw. treu ( Hier ich ikann auch Deutsch sprechen; ich sage nicht " injektiv " , sondern treu. )  Sämtliche Lösungen befinden sich auf der Symmetrielinie, der WH  x = y . Diese Bedingung einsetzen in  (  3a  )

         cos  (  2  x  )  +  cos  (  x  )  =  0       (  5a  )

       An dieser Stelle kommt ein ===> Additionsteorem zum Einsatz

       cos ²  (  x  )  -  sin  ²  (  x  )  +  cos  (  x  )  =  0       (  5b  )

       Weiter mit Pythagoras

       2  cos ²  (  x  )  +  cos  (  x  )  -  1  =  0       (  5c  )

      Mit der Substitution

             u  :=  cos  (  x  )  (  5d  )

         lösen wir die quadratische Gleichung ( QG )

            2  u  ²  +  u  -  1  =  0  (  5e  ) 

      Nein das mache ich schon lange nicht mehr mit der Mitternachtsformel; irgendwo bin ich auch ein Snob. Schau mal, was Pappi alles weiß :

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

    Der " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN )

    Hast du dich von deinem ersten Schreck erholt?

    WARUM ist Wurzel 2 irrational?

       Nein; von Gauß ist der SRN nicht - Wiki ist geduldig.

     Im ===> v.d. Waerden steht er nicht - behauptet nicht mal Wiki.

      Seine Entdeckung liegt noch keine fünf Jahre zurück - das Werk eines anonymen Bastlers auf irgendeinem Interbetportal - was weiß ich.

  Mein Gewährsmann ist User " Ribek " auf " Cosmiq "

   Unmittelbar, nachdem mir der SRN bekannt wurde, stellte ich einen Lehrsatz der elementaren Algebra auf:

           SATZ 1  ( Zerlegungssatz )

           ==============

         Sei g  €  |Z  [  x  ]  ein zerfallendes primitives quadratisches Polynom.

          g  :=  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  6a  )

         Seine Wurzeln mögen wie üblich in gekürzter Form vorliegen.

       x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q     (  6b  )

       Dann gelten die beiden pq Identitäten

           p1  p2  =  a0       (  6c  )

          q1  q2  =  a2        (  6d  )

       ===================================

     Dieser Zerlegungssatz versetzt jener These den Todesstoß, der SRN könne von Gauß stammen.

     Das Genie Gauß, der Entdecker des SRN , sollte zu doof gewesen sein, die Bedeutung hinter (  6cd  ) zu erkennen? Und in den letzten 200 Jahren sollte niemand vor mir diese Idee gehabt haben? Grotesk.

   Studienräte auf " Cosmiq " ignorierten meine Hinweise - bios auf einen. Der riss dreckige Witze über mich.

   Da war nicht ein Lehrer, der mich auf Gauß als ( angeblichen ) Urheber angesprochen hätte.

   Und jetzt tu mir die Liebe - wenn ich dir schon die Aufgabe löse.

   Begib dich in die Sprechstunde zu deinem Asststenten bzw. Prof.

   Begib dich direkt dorthin.

    Gehe nicht über LOS .

    Berichte ihnen von dem SRN bzw. meinem Zerlegungssatz.

      Ob sie es überhaupt kennen bzw. was sie davon halten.

      Und lass recht bald von dir hören.

     So; jetzt weißt du, in welchem Film dass du bist.  In ( 5e )   überlebt wohl nicht mehr viel.

      |  u1  |  =  1/2  ;  |  u2  |  =  1       (  7a  )

      Allerdings bliebe zu rechtfertigen, dass ( 5e ) tatsächlich zerfällt. Und praktisch noch viel wichtiger: Wir müssen das Vorzeichen richtig drehen.

     Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta ( der Normalform ) von  ( 5e )

                u  ²  +  1/2  u  -  1/2  =  0      (  7b  )  

                x  ²  -  p  x  +  q  =  0      (  7c  )

Comments

vielen dank
ich werd mich da mal durcharbeiten das ich es auch alles versteh

wir müssen die aufgaben sowieso in einer übungsrunde präsentieren da kann ich dann mal den Vorschlag einwerfen und kuken was der prof sagt 

meld mich dann und nochmal vielen dank

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nur was sind jetzt die Extrema und Sattelpunkte der Funktion?

 

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( max Zeichen )  Vielemn Dank für deinen lieben Kommentar; selbstverständlich mach ich noch fertig. Gestern musste ich nur in das ===> Schlaftürlein, weil ich sonst im ===> Kämmerleinletz mit einem Löffel Grießbrei bestraft werde. Aber die Aufgabe ist sehr Umfang reich; ihre Lösung ist noch lange nicht zu Ende.


                u  ²  +  1/2  u  -  1/2  =  0        (  1.7b  )  

                u  ²  -  p  u  +  q  =  0              (  1.7c  )

               p  =  u1  +  u2  =  (  -  1/2  )        (  1.7d   )

              u1  =  (  -  1  )  ;  u2  =  1/2         (  1.7e  )

         u2  ist unproblematisch; wir machen die Substitution ( 1.5d ) rückgängig.

         cos  (  x2  )  =  1/2  ===>  x2  =  y2  =  Pi/3  =  60  °      (  2.1  )

      Viel prekärer ist die Lage bei ( x1 | y1 )  ; dieser Punkt entspricht nämlich ( in der Sprache der Elementargeometrie ) der Ecke B , also einem Randpunkt, unseres definierenden Quadrates.

    Jetzt die Hessematrix aus ( 1.3ab )

          f_xx  =  -  sin  (  x  +  y  )  -  sin  (  x  )    (  2.2a  )

          f_xy  =  -  sin  (  x  +  y  )       (  2.2b  )   

          f_yy  =  -  sin  (  x  +  y  )  -  sin  (  y  )    (  2.2c  )

         f_xx  (  x2  ;  y2  )  =  f_yy  (  x2  ;  y2  )  =  -  sin  (  120  )  -  sin  (  60  )  =  -  sqr  (  3  )     (  2.3a  )    

         f_xy  (  x2  ;  y2  )  =  -  sin  (  120  )  =  -  1/2  sqr  (  3  )     (  2.3b  )   

         Hier sind eindeutig die im Vorteil, die ihre ===> Paulimatrizen gelernt haben. Denn jede ===> Hermitesche 2 X 2 Matrix lässt sich darstellen als Linearkombination aus Einheitsmatrix, S1 und S3 . In unserem Fall

        H  (  x2  ;  y2  )  =  -  (  1|  +  1/2  S1  )     (  2.4a  )

      Die Eigenwerte von S1 sind Plus/Minus Eins; die physikalische Bedeutung dieses Operators ist " Spinkomponente "   Dem entsprechend

            E1  =  -  (  1  +  1/2  )  =  (  -  3/2  )     (  2.4b  )

            E2  =  -  (  1  -  1/2  )  =  (  -  1/2  )     (  2.4c )

      Beide Eigenwerte sind negativ; H ist negativ definit. Wir haben ein Maximum.  Dieser Punkt P2 := ( x2 | y2 ) tritt zum Wettbewerb um das absolute Maximum an; notieren wir den Funktionswert

      f  (  P2  )  =  3/2  sqr  (  3  )  =  1/2  sqr  (  27  )     (  2.4d  )

      Theoretisch ist noch P1 offen - mag sein, dass sich dein Prof direkt gar nicht dafür intressiert, weil das ja ein Randpunkt ist. Die Hessematrix

       f_xx  (  x1  ;  y1  )  =  f_yy  (  x1  ;  y1  )  =  -  sin  (  2  Pi  )  -  sin  (  Pi  )  =  0      (  2.5a  )    

       f_xy  (  x2  ;  y2  )  =  0                             (  2.5b  )  

      Die H-Matrix ist die Nullmatrix - die katastrofeste Katastrofe. Ich hatte schon mal eine Idee, die sich in so Fällen glänzend bewährt hat. Es ist aber reine Heuristik; auch hier müsstest du deinen Prof konsultieren, ob man das überhaupt so machen darf bzw. ob es da nichts Einfacheres gibt.

   Ich besinne mich auf die Aussagen der gewöhnlichen Kurvendiskussion ( KD ) in einer Veränderlichen. Das ganze Geheimnis hinter der KD : Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein ( lokales , relatives ) Extremum; eine ( mehrfache ) Nullstelle von ungerader Ordnung ist immer ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) ( beide Bedingungen hinreichend, aber nicht notwendig. )

    Ausgehend von dem Punkt P1, ziehe ich Stern förmig lauter Strahlen in die Umgebung von P1. Geraden schlicht und ergreifend deshalb, weil wir da die Ableitungen besonders einfach bilden können. Aber das genau ist die Frage, ob man das darf.

       Eine durch P1 verlaufende Gerade hat die Parameterform

        x  =  Pi  +  ß  t  ;  y  =  Pi  +  µ  t   (  2.6a  )

     f  [  x  (  t  )  ;  y  (  t  )  ]  =  sin [  (  Pi  +  ß  t  )  +  (  Pi  +  µ  t  )  ]  +  sin  (  Pi  +  ß  t  )  +  sin  (  Pi  +  µ  t  )  =  (  2.6b  ) 

                                            =  sin  (  ß  +  µ  )  t  -  sin  (  ß  t  )  -  sin  (  µ  t  )     (  2.6c  )

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Wir bilden jetzt sämtliche Ableitungen von ( 2.6c )   Gleich die erste Ableitung verschwindet


       f  '  (  0  )  =  0    (  3.1a  )

     Logisch, wo ja der Gradient verschwindet. Das kannst du dir auch teoretisch klar machen:


     (  d/dt  )  f  =  f_x  (  dx/dt  )  +  f_y  (  dy/dt  )  =    (  3.1a  )

                       =  ß  f_x  +  µ  f_y       (  3.1b  )


      Jetzt wirst du fest stellen, dass die 2. Ableitung von ( 2.6c ) sogar trivial verschwindet. Die Vermutung liegt nahe,  dass das Verschwinden der H Matrix dafür hinreichend ist. Die Rechnung verläuft ganz analog ( 3.1b ) , nur ein bissele komplizierter. Für die 3. Ableitung erhalten wir



      f(³)  (  t  )  =  -  (  ß  +  µ  )  ³  cos  (  ß  +  µ  )  t  +  ß  ³  cos  (  ß  t  )  +  µ  ³  cos  (  µ  t  )  (  3.2a  )

      f(³)  (  0  )  =  ß  ³  +  µ  ³  -  (  ß  +  µ  )  ³  =  -  3  ß  µ  (  ß  +  µ  )  =    (  3.2b  ) 

                       =  -  3  ß  ²  µ  (  m  +  1  )     (  3.2c  )


     wobei für das Steigungsmaß gesetzt wurde
   


         m  :=  µ  /  ß   (  3.2d  )

 
     Bitte beachte, dass wann immer ß und µ miteinander verschwistert auftreten, dies nur in der Verbindung " m " geschehen darf; du musst schließlich eine invariante Aussage über diesen Strahl bekommen.
   Ganz klar - wir haben einen TP nachgewiesen. Das wird immer verwechselt mit Sattelpunkt ( SP )  Dabei hat das eine mit dem anderen überhaupt nichts zu tun.
   Einen SP gibt es nur bei einer ( mindestens ) zweidimensionalen Fläche; SP bedeutet, dass der Sattel in einer Richtung ein Maximum hat und in einer anderen ein Minimum. So gesehen ist der Begriff des SP eine direkte Verallgemeinerung des lokalen Extremums.
    Ganz anders der TP, den ihr ja schon von der KD in der Schule kennt. Ein TP ist ein Plateaupunkt mit horizontaler Tangente bzw. Tangentialebene, wo sich die Funktion völlig " indefinit " verhält. Folgst du dem Strahl nach Rechts, wachsen die Funktionswerte z.B. lokal monoton an. Gehst du auf dem selben Strahl nach Links, fällt die Funktion.
   Jetzt argumentiere doch mal im logischen Umkehrschluss. Ist die H-Matrix definit, folgt Extremum; ist sie indefinit, so hast du einen SP . Ja dann muss die H Matrix im Falle eines TP doch notwendig singulär werden. Wüsstest du von Vorn herein, dass sich in P1 ein TP verbirgt, wäre auch klar: H hat einen Eigenwert Null.
   Dass eine Funktion absolute Extrema hat, ist keineswegs selbstverst#ändlich. Obwohl - bei Polynomen aus Sinus-und Kosinustermen würd ich das noch auf ganz |R ^ n erwarten. Aber was du im Zusammenhang mit dieser Aufgabe lernen sollst:


      SATZ 2
    ==============

     Sei  f  : |R ^ n ===>  |R stetig. Dann nimmt f auf jeder kompakten Teilmenge K sein absolutes Minimum und Maximum an.


    ==========================================================


      Ein absolutes Maximum kann entweder innerer Punkt des Quadrats sein - dann ist es erst recht lokales Maximum und nach dem Gesagten mit P2 identisch. Oder eben alternativ Randpunkt; wir müssen den Rand des Quadrats absuchen. Entsprechend folgt, dass das absolute Minimum ein Randpunkt sein muss.
    Beginnen wir mit der Seite a; sie gehorcht der Gleichung y = 0


      f  (  x  ;  0  )  =  2  sin  (  x  )     (  3.3a  )


     Als Kandidaten für Minimum gehen die Eckpunkte A und B ins Rennen; beachte, dass Satz 2 eine reine Existenz-keine Eindeutigkeitsaussage darstellt.
     Der Mittelpunkt M ( a )  der Seite a scheidet als Maximum aus; die Amplitude beträgt 2 . Vgl  (  2.4d  )


        2  =  1/2  sqr  (  16  )  ;  16  <  27        (  3.3b  )


     Die Seite d brauchen wir erst gar nicht untersuchen wegen der Spiegelsymmetrie. Wir haben jetzt die drei Minima A , B und D - voraus gesetzt, dass unsere Funktion nicht doch noch irgendwo überraschend negativ wird.
    Die Seite b gehorcht der Gleichung x  =  Pi


     f  (  Pi  ;  y  )  =  sin  (  Pi  +  y  )  +  sin  (  Pi  )  +  sin  (  y  )  ident  =  0    (  3.4  )


    D.h.  Seiten b und c  sind quasi " Minimumseiten " Zufrieden? Noch Fragen?
    Habe ich mich irgendwo verrechnet?
     Weil ich mach das alles alleine; ich kenn keinen, der mir da zur Seite stehen würde ...