Zeigen Sie, dass die Abbildung kein Skalarprodukt ist.

Question

Aufgabe:

Im folgenden bezeichnen \( p=p_{2} x^{2}+p_{1} x+p_{0} \) und \( q=q_{2} x^{2}+q_{1} x+q_{0} \) Polynome des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \)

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

$$ \langle\cdot, \cdot\rangle_{1}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} ; \quad\langle p, q\rangle_{1}=2 p_{2} q_{2}-p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}-p_{1} q_{1}+p_{0} q_{0} $$

kein Skalarprodukt des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) ist.

Ansatz/Problem:

mir fällt einfach kein Beispiel ein, um zu beweisen, dass die Abbildung kein Skalarprodukt ist. Hoffe jemand kann mir helfen, auch ein Ansatz ist viel. Vielen Dank schonmal!

Comments

Tipp: Berechne \(\langle x,x\rangle_1\).

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Ich würde dir bzw. euch empfehlen euren Wissenstand um die Definition und Eigenschaften eines Skalarprodukts zu ergänzen (zwingend notwendig um die Aufgabe zu lösen). Dann sollten die Hinweise relativ klar sein.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen,dass die Abbildung kein Skalarprodukt ist.

Stichworte: skalarprodukt,vektorraum,abbildung,polynom,norm

Aufgabe

Im folgenden bezeichnen \( p=p_{2} x^{2}+p_{1} x+p_{0} \) und \( q=q_{2} x^{2}+q_{1} x+q_{0} \) Polynome des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \)
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \langle\cdot, \cdot\rangle_{1}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} ; \quad\langle p, q\rangle_{1}=2 p_{2} q_{2}+p_{2} q_{0}+p_{0} q_{2}+p_{0} q_{0} $$
kein Skalarprodukt des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) ist.

Ich weiß leider nicht mehr weiter weshalb ich nach einem Ansatz frage. Ich habe bereits alle vier Bedingungen, die uns gegeben waren, berechnet und komme nur darauf, DASS es ein Skalarprodukt ist. Könnte mir jemand helfen, zu zeigen bzw. zu sagen welches Kriterium nicht erfüllt ist?

Answer 1

Betrachte \( p = x+1\) und \( \langle p,p \rangle_1\).

Answer 2

Hier hast du ein Beispiel.

Gern geschehen

Comments

Wofür ist das ein Beispiel?

Answer 3

Welche 4 Bedingungen hast du denn genau geprüft?

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_.28Axiomatik.29

Wenn p1 und q1 nicht in der Formel vorkommen, heisst das doch, dass

für p = 2x

gilt < p, p> = 0 , obwohl p ≠ 0. Nr. 3 b) im Link wäre somit nicht erfüllt.

Comments

Im Prinzip sind meine 4 Bedingungen genau die, die von Wikipedia 1-3b. Unsere Definition war anscheinend nicht ganz so genau wie es auf Wikipedia steht. Dieses ''genau dann, wenn'' von Wikipedia kam in meinen Aufzeichnungen nicht vor. Ich verstehe nun, warum es nicht erfüllt ist. Vielen Danke für diese sehr schnelle Hilfe.