u harmonisch -> |gradient(u)|^2 subharmonisch

Question

Hallo. Ich habe folgende Aufgabe vorliegen,weiß jedoch nicht weiter:

Sei u harmonisch.

Mit K Element von R^2 und u: K-> R

Ich soll nun zeigen,dass:

|∇u|^2 subharmonisch ist.

Ich weiß,dass eine Funktion u subharmonisch ist, wenn

-Δu ≤ 0

Ich habe versucht auszuschreiben:

|∇u|^2 = |(δx,δy)^T| ^2 =  ( (δx)^2+(δy)^2)^{1/2}^2 = (δx)^2+(δy)^2

Jetzt möchte ich hiervon den Laplace-Operator bilden, um auf Subharmonie zu prüfen:

Dazu erstmal der Gradient:

∇((δx)^2+(δy)^2) = (2δ^2x, 2δ^2y)

Jetzt die Hessematrix, bzw. deren Diagonaleinträge, berechnen: 2δ^3x      und 2δ^3y

Damit wäre der Laplace-Operator: 2δ^3x+2δ^3y.

Ich kann nicht sagen, ob dies größer oder kleiner als 0 ist. Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob die Funktion überhaupt so oft differenzierbar ist.

Mit der anderen Defintion von Subharmonie ( über die Submittelwerteigenschaft) kann ich in diesem Fall überhaupt nichts anfangen.

Answer 1

Hi, sei
$$ v = |\nabla u|^2 = \sum_{i=1}^n u_{x_i}^2  $$ dann gilt
$$ v_{x_j} = \sum_{i=1}^n 2 u_{x_i} u_{x_i x_j}  $$ und
$$ v_{x_j x_j} = 2\sum_{i=1}^n u_{x_i x_j}^2 + 2 \sum_{i=1}^n u_{x_i} u_{x_i x_j x_j}  $$ und deshalb gilt
$$ \Delta v = \sum_{j=1}^n v_{x_j x_j} = 2 \sum_{j=1}^n \left[ \sum_{i=1}^n u_{x_i x_j}^2 + \sum_{i=1}^n u_{x_i} u_{x_i x_j x_j} \right] $$ und weiter
$$ \Delta v \ge  2 \sum_{i=1}^n  \sum_{j=1}^n u_{x_i} u_{x_i x_j x_j} = 2 \sum_{i=1}^n u_{x_i} (\Delta u)_{x_i} = 0  $$

Daraus sieht man auch das \( u \in C^3  \) gelten muss.

Comments

Was genau ist u_xi ? Die Ableitung nach der Kompontene xi ?

---

Genau, \( u_{x_i} = \frac{\partial u}{\partial x_i} \)