Exponentialgleichungen: 1. 4*1^{2-3y} = 8; 2. 1+2^{3y} = -5; 3. 5+3^y = 1,5; 4. 2^{x^2-1}-8 = 0 unlösbar?

Question

heute haben wir in Mathe die Hausaufgabe bekommen, ca. 15 Exponentialgleichungen zu lösen. Bei 4 von den 15 bin ich nicht an ein Ergebnis gekommen, weshalb ich davon ausgehe, dass diese nicht aufgehen.
Hier die 4 Gleichungen:
1. 4*1^{2-3y} = 8
2. 1+2^{3y} = -5
3. 5+3^y = 1,5
4. 2^{x^2-1}-8 = 0

Könnt ihr mir helfen bzw. bestätigen, dass die Gleichungen nicht bzw. für mich nicht (10.Klasse) lösbar sind!

z.B: Nummer 2:
1+2^{3y} = -5 |-1
2^{3y} = -6
lg(2^{3y}) = lg(-6)
Widerspruch, da die Zahl im Logarithmus nie negativ sein darf, hier: -6

Nummer 3:
5+3^y = 1,5 |-5
3^y = -3,5
lg(3^y) = lg (-3,5)
Widerspruch, da die Zahl im Logarithmus nie negativ sein darf, hier:-3,5

Comments

Hi, Nr. 2 und Nr. 3 hast Du eigentlich selbst schon gelöst. Ich würde allerdings eine Zeile früher aufhören und darauf verweisen, dass die Werte von Exponentialfunktionen der Form a^y immer positiv und die Gleichungen daher nicht lösbar sind.

Siehe zum Thema auch das Video Exponentialgleichungen: Lösen mit Logarithmus

Answer 1

Wenn du hier unsicher bist, kannst du einen Graphen der Funktionen links und rechts des = erstellen. Mit dem Zeichentool hier musst du allerdings x statt y verwenden.

1. 4*1^2-3y = 8

Ich schreib jetzt nicht dazu, welche Farbe links resp. rechts hat. Das sind 2 parallele Geraden. Die haben keine Schnittstelle.

2. 1+2^3y = -5

3. 5+3^y = 1,5

4. 2^{x^2-1}-8 = 0

Achtung: Das 4. Bild zeigt, dass x = ±2 Lösungen sind. Das muss sich auch rechnen lassen.

 2^{x^2-1}-8 = 0         |+8

 2^{x^2-1} = 8           |8=2^3

 2^{x^2-1} = 2^3          |Exponentenvergleich

x^2 - 1 = 3          |+1

x^2 = 4             |±√

x = ±2 wie oben vermutet.

Wenn du keinen Plotter zur Verfügung hast, musst du rechnen resp. überlegen.

y = a^x ist immer eine Kurve oberhalb der x-Achse, die die x-Achse als Asymptote hat. Die Basis a muss definitionsgemäss grösser 0 sein.

D.h. du weisst a^x > 0.

Dann ist automatisch a^x + b > b         (egal, was b ist)

und ebenfalls - (a^x) < 0

usw.

Deine Argumente bei 2. und 3. sind gut!

Zu 1. 1^etwas ist immer 1.

Comments

Bitte. Gern geschehen. Präzision und Nachtrag

1. bis 3. Lösungsmenge L ={} leere Menge.
4. L = {-2, +2}