Zins- und Zinseszinsrechnung: Nachschüssige Rente mit 10 Einzahlungen

Question

Ich habe hier Beispielaufgaben aus einer alten Klausur und die dazugehörigen Lösungen. Was ich erklärt bekommen müsste, sind die Lösungswege. Ich würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir hier geholfen werden könnte, sodass ich die Klausur mitschreiben und die Lösungswege auf die Aufgaben dort anwenden kann.

Aufgabe 1:

Für einen Kredit über 40.000,-€ wurde bei einer anfänglichen Tilgung von 2% eine vierteljährliche Rückzahlung vereinbart. Das Kreditkonto wird vierteljährig relativ verzinst, die jährliche Annuität wird linear auf die unterjährigen Annuitäten aufgeteilt. Für die ersten drei Jahre (Zinsbindungsfrist) wird ein Zinssatz von 5,0% p.a. vereinbart. Nach Ablauf der Zinsbindungsfrist ist ein neuer Kreditvertrag auszuhandeln. Für die verblei-bende Zeit bietet die Bank festbleibend 4,5% Zinsen an. Der anfängliche Tilgungssatz wird auf 6% angehoben.

- Welche vierteljährliche Annuität ist in den ersten drei  Jahren zu zahlen? (Lösung: 700,- €)

- Welche Restschuld besteht nach Ablauf der ersten drei Jahre? (Lösung: 37.427,93 €)

- Welche vierteljährliche Annuität ist während der zweiten Vertragszeit zu zahlen? (Lösung:982,48 €)

- Wie lange ist insgesamt zu tilgen? (Lösung: 12+51 Quartale (15,75 Jahre))

- Wie hoch ist die Annuität im letzten Quartal? (Lösung: 22,63 €)


Aufgabe 2:

Rita Rubin hat am 31.12.2008 auf ihrem Konto genau 12.000,- € stehen.  Sie entnimmt von diesem Konto jeweils zu Monatsbeginn  500- €. Das Konto wird vierteljährlich mit 1,0% p.Q.  verzinst. Am Vierteljahresende gehen jeweils 1.500,-€ auf diesem Konto ein. Über welchen Kontostand verfügt Rita nach 2,5 Jahren?      

Lösungen:                                                                                                          
- Verzehrende monatliche vorschüssige Rente vom vierteljährlich verzinsten Konto, 2,5*12=30 Monate
→ Endwert: -2.542,48 €

- Nachschüssige vierteljährliche Rente von 1.500,-€ auf vierteljährlich verzinstes Konto, 2,5*4=10 Vierteljahre
→ Endwert:  15.693,32 €

- Kontoendstand:  15.693,32 € -2.542,48 € = 13.150,84 €

Comments

Könntest du ev. noch die Formeln angeben, die ihr benutzt, und die verlässlich sind für eure Begriffe?

Bzw. sind die Formeln, die Capricorn oder ich (im 2. Versuch) benutzt haben, anwendbar, wenn da monatliche Zahlungen erfolgen? Bezieht sich auf die Diskussion zu:

https://www.mathelounge.de/2271/rentenumwandlung-wie-hoch-ist-nachschussige-jahresrente?show=2293#c2293

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Oder vielleciht hilft zinseszins.de/finanzmathematik/annuitaeten/berechnung man müsste natürlich wissen was, was ist, von den Bezeichungen her! Finanzmathematik hat auch eine eigeneSprache in der Hinsicht.

Answer 1

Ohne weitere Formeln kann ich mal den 2. Teil von Aufgabe 2 nachvollziehen:

- Nachschüssige vierteljährliche Rente von 1.500,-€ auf vierteljährlich verzinstes Konto, 2,5*4=10 Vierteljahre
→ Endwert:  15.693,32 €

HIer geht es um den Endwert für eine nachschüssige Rente mit 10 Einzahlungen und Verzinsung in gleichen Zeitintervallen

$$ { s }_{ n }=\frac { { r }^{ n }-1 }{ r-1 } \\ \\ { s }_{ 10 }=\frac { 1.01^{ 10 }-1 }{ 1.01-1 } =\quad 10.4622 $$

Da es sich bei jeder Rate um 1500 Euro handelt. 10,4622 * 1500 = 15'693.30

Answer 2

Aufgabe 2, monatliche Renten von 500.-

Da eine 1/4-jährliche, vorschüßige Verzinsung vorliegt, musst Du die monatlichen Renten eines Quartals zuerst auf den Anfang dieses Quartals abzinsen.
Die erste Rente wird per Anfang Quartal fällig (500)
Die zweite Rente nach einem Monat: 500 / (1 + 1/100/3)
Die zweite Rente nach 2 Monaten: 500 / (1 + 2*1/100/3)
Das gibt zusammen 1495.0276
Mit der Formel r * (rⁿ -1) / (r - 1) berechnest Du den vorschüssigen Endwert für 10 Perioden zu 1%.
Das ergibt 10.5668347
Die 12000.- Anfangskapital musst Du noch mit 1% über 10 Perioden aufzinsen.

12000 * (1+1/100)^10 - 1495.0276 * 10.5668347 =2542.24

Den weiteren Rechenweg zu Aufgabe 2) hat Dir Lu schon erläutert.