( dx / dt ) = - 3 x + 2 y ( 1a )
( dy / dt ) = - 6 x + 4 y ( 1b )
Du gehst rein mit dem üblichen e-Ansatz
x = x0 exp ( k t ) ( 2a )
y = y0 exp ( k t ) ( 2b )
Darf ich mal deine Lachmuskeln reizen? ' Mir hatte en Assistent '
" Differenziern kann jeedää. Intekriern is Klückßache ( Er lispelte etwas. )
Unn bei dene DGL ; gell. Da duut mer doch als de Nebenmann fraache.
Du geppmer doch maa en Ansatz, damittisch weiß, was raus kommt.
Weil bei dene DGL ; gell. Da duun mir Ihne so Existenzbeweise beipringe.
Also die Lösunge; gell. Dass die existiern. Weil die Existensätze; gell. Die duun mir Sie nachher in die Prüfung abfraache.
Aber wie man die Lösunge findet; gell. Das sagen mir Ihnen nischt, weil das giept es nischt ... "
Na dann bin ICH mal dein Nebenmann - ( 2ab ) ist der Ansatz.
( k + 3 ) x0 - 2 y0 = 0 ( 3a )
6 x0 + ( k - 4 ) y0 = 0 ( 3b )
Die Idee; so habe ich es gelernt im ersten Semester, als ich noch Null Ahnung hatte. ( 3ab ) bilden ein homogenes LGS ; das hat immer die triviale Lösung. doch nur wenn es linear unabhängig ist, gilt auch die Umkehrung: Jede Lösung ist notwendig trivial. Nur für die Eigenwerte wird die Koeffizientenmatrix M von ( 3ab ) singulär; nur dann kommt da was Sinn Volles raus.
det ( M ) = ( k + 3 ) ( k - 4 ) + 12 = 0 ( 4a )
k ² - k = k ( k - 1 ) = 0 ( 4b )
Ich muss gestehen; sowas ist mir überhaupt noch nie passiert. Dieser Eigenwert Null bedeutet ja, dass das DGLS einen fixpunkt besitzt - völlig unphysikalisch.
Hier ich bin echt doof; muss mir das jetzt peinlich sein? Weil die Eigenwerte des DGLS sind doch nix anderes wie die Eigenwerte von A . Das hätten wir einfacher haben können; ein eigenwert ist Null, weil die Matrix A ja Rang Eins hat. Und der andere ergibt sich aus der Spurbedingung; ich schreibe dir jetzt die Säkulardeterminante von A hin:
x ² - p x + q = 0 ( 5a )
Dann folgt doch aus dem Satz von Vieta
p = E1 + E2 = Sp ( H ) ( 5b )
q = E1 E2 = det ( H ) ( 5c )
