Fläche berechnen mit einer Parabel

Question

Gegeben ist die Parabel f(x)=-x²+4. Legt man an die Parabel im Punkt P=(-1;yp) eine Tangente an, dann schließt diese mit dem Graphen von f und der x-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt zu berechnen ist.

Comments

So könnte das wohl aussehen:

~plot~-x^2+4;{-1|3};2x+5~plot~

Answer 1

Das wäre also die Fläche zwischen rot und blau.

Nullpunkt von rot
2x + 5 = 0
x = -2.5
Fläche von rot zwischen
x = -2.5 und  x = -1
Dreieck
1.5 * 3 / 2 = 2.25

f(x)=-x²+4
Stammfunktion
∫ -x²+4 dx = -x^3/3 + 4x
[ -x^3/3 + 4x ]_-2^-1
5/3

2.25 - 5/3 = 0.58333

Alle Angaben ohne Gewähr

Comments

**Bitte löschen, ist falsch**

Um die Tanente aufzustellen, musst du den Berührpunkt und die Steigung ausrechnen.

yp=-(-1)^2+4=3

Also P(-1/3)

Die Steigung ist die erste Ableitung an der Stelle -1

f'(x) = -2x

f'(-1)=2

Damit bekommst du mit der Punkt-Steigungsform der Geradengleichung die Tangente raus:

y= 2x + 5

Die eingeschlossene Fläche befindet sich auf dem Intervall zwischen Nullstelle der Tangente und dem Berührpunkt. Die Nullstelle ist x=-2,5. Also müssen wir die Differenzfunktion integrieren zwischen -2,5 und -1.

Die Differenzfunktion ist: 2x+5 - (-x^2 + 4) = 2x+5 + x^2 -4 = x^2+2x+1

Die Stammfunktion ist 1/3x^3+x^2+x

F(-2,5)-F(-1) = (1/3 (-2,5)^3+(-2,5)^2 - 2,5) - (1/3*(-1)^3 + (-1)^2) -1)

-15,625/3 + 6,25 -2,5 + 1/3 - 1 +1 = -1,125

Die eingeschlossene Fläche ist also 1,125.