Lokale und Globale Extrema berechnen

Question

Hallo ihr lieben,

es wäre sehr nett wenn einer mir bei diesen beiden Aufgaben helfen könnte.

Zur Aufgabe 1a) Hier habe ich das Prinzip des Pascalschen Dreiecks für beide Binomen angewendet und diese dann miteinander multipliziert. (Habe gigantische Zahlen dabei rausbekommen) Dann habe ich f(x) zwei mal abgeleitet. Anschließend habe ich f'(x)=0 (1. Bedingung) gesetzt und wollte diese Werte dann in f''(x) einsetzen um zu schauen ob es sich hierbei um einen Maximum oder Minimum handelt. Doch mein Problem, dass ich für die erste Ableitung  einen Term von ca. f'(x)=x^9.... und sehr sehr hohen Zahlen bekommen habe. Sprich, also dachte ich mir jetzt eine Polynom Division durchzuführen. Ich komme auf garkein X um dies tun zu können. ist mein Ansatz falsch?

Aufgabe 2a) Ist machbar aber bei b) habe ich wieder das selbe Problem. Bis zur 2. Ableitung ist alles okay, aber dann wieder das für mich unlösbare f'(x)=0  ...

Comments

Vielleicht solltest du nicht ausmultiplizieren bevor du ableitest, sondern die Produktregel anwenden.

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Und Kettenregel. Ich nehme auch an, dass extra etwas höhere Potenzen gewählt wurden, damit man es nicht ausmultipliziert. Was das mit den Nullstellen der Ableitung bei 2. angeht: Denk daran, dass es reicht, wenn bei einem Produkt einer der Faktoren Null wird und bei Brüchen interessiert nur der Zähler. Dann ist das ganz einfach.

Answer 1

zur 1) es ist
$$f`(x) = 4(x-1)^3(x-7)^5+(x-1)^45(x-7)^4$$

Falls noch nicht bekannt:

Für die Polynomdivision bietet es sich an als Nullstellen Teiler des absoluten Glieds zu probieren

Comments

Okay also direkt ableiten ohne aus zumultiplizieren? Die Nullstellen sind meiner Meinung nach offensichtlich. Da es sich um eine multiplikation handelt, sollte:

 (x-1)= 0   und/oder   (x-7)=0 ausreichen.

an dieser Stelle wäre es doch schlau diesmal auszumultiplizieren? oder reicht es aus die beiden Nullstellen direkt in f''(x) einzusetzen?

Danke für die schnellen Antworten!

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Ich bin mir zwar sicher mich verrechnet zu haben, von daher ich überprüfe die Ableitung nochmal.

Was deine Frage angeht:

$$(x-a)(x-b) = 0 \rightarrow (x-a) = 0 \lor (x-b) = 0 $$

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f'(x)= 5(x-1)^4(x-1)^4 +  4(x-7)^5(x-1)^3 ist mein Ergebnis.

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Bist du dir sicher, dass es am Anfang zweimal (x-1) heißt?

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(x-7) muss das eine heißen, Tippfehler tut mir Leid.

für die zweite Ableitung habe ich

 f''(x)=20(x-7)^3(x-1)^4 + 40(x-7)^4(x-1)^3 + 12(x-7)^5(x-1)^2

wenn ich aber hier eines der beiden Nullstellen x1=1 und X2=7 einsetze in f''(x) einsetze, wird der ganze Ausdruck f''(x)=0. Aber laut wolframpalpha existiert auf jeden Fall ein Max. und Min. :S

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Vorzeichenwechselkriterium heißt die Lösung des Problems.

Übrigens hat die Ableitung nach meiner Rechnung 3 Nullstellen.

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Höre ich (komischerweise) zum ersten mal, hab ich einwenig schlau gemacht:

Man Untersucht die Nullstellen der 1. Ableitung in dem man zwei x-werte in deren Nähe wählt und sie in die 1. Ableitung einsetzt. Wenn sich das Vorzeichen von

positiv zu negativ verändert => Hochstelle

negativ zu positiv verändert =>  Tiefstelle

(x-1)=0  => x=1

f'(0)=79233

f'(2)=-9375

Hier handelt es sich um einen Hochpunkt

(x-7)=0 => x=7

f'(6)=2625

f'(8)=13377

Hier handelt es sich also um einen Berührpunkt. Wie kommst du auf die dritte Nullstelle wenn ich mal so dämlich fragen darf?

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Die dritte Nullstelle hat mir mein Rechner ausgespruckt., soll bei 11/3 liegen.

Hier wäre Polynomdivision eine (aufwendige Möglichkeit), etwas anders geht es, in dem man die Vielfachheiten der Nullstelle bestimmt und dann einen Vergleich macht.

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\(f'(x)=4(x-1)^3(x-7)^5+5(x-1)^4(x-7)^4=(x-1)^3(x-7)^4(9x-33)\).
Es existiert also eine dritte Nullstelle bei \(x_3=\frac{11}3\).

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Wenn ich mich mal einmischen darf, wie seid ihr auf die Umformung gekommen sodass x= 11/3? Kann die Rechenschritte nicht nachvollziehen. Lg

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jf919. Man löst dafür den nullgesetzten dritten Faktor

9x - 33 = 0 nach x auf.

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Wie ist dieser dritte Faktor Zustande gekommen ? Unpraktisch formuliert srry

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Klammere \((x-1)^3(x-7)^4\) aus.

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Danke. Ja vorher wurde ausgeklammert, D.h.

4(x-1)^3(x-7)^5 + 5(x-1)^4(x-7)^4 =

4(x-7)(x-1)^3(x-7)^4 + 5(x-1) (x-1)^3(x-7)^4 

= (4x-28)(x-1)^3(x-7)^4 + (5x-5) (x-1)^3(x-7)^4

= (4x-28+5x-5)(x-1)^3(x-7)^4 

=(9x - 33)(x-1)^3(x-7)^4