n-te Ableitungen bestimmen

Question

ich soll die Taylorreihenentwicklung von zwei Funktionen bestimmen. Das ist an sich kein Problem. Allerdings bekomme ich keine Formel für die n-ten-Ableitungen hin.

Bei der ersten Funktion erkenne ich zwar das Muster, aber ich kann das irgendwie nicht als Formel ausdrücken und bei der zweiten Funktion erkenne ich das Muster nur zum Teil.

Fällt vielleicht jemandem von euch eine Formel ein?

\( f(x)=\sqrt{1+x} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-1}{4(1+x)^{3 / 2}} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{8(1+x)^{5 / 2}} \)
\( f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{-15}{16(1+x)^{7 / 2}} \)

Bei f(x) wird der Zähler immer mit -1, -2, -3, ... multipliziert. Im Nenner wird die Zahl vor der Klammer mit 2 multipliziert und bei der Potenz wird 1= 2/2 addiert.

\( g(x)=\arcsin x \)
\( g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
\( g^{\prime \prime}(x)=\frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}} \)
\( g^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{2 x^{2}+1}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}} \)
\( g^{\prime \prime \prime \prime}(x)=\frac{6 x^{3}+9 x}{\left(1-x^{2}\right)^{2 / 2}} \)
\( g^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)=\frac{24 x^{4}+72 x^{2}+9}{\left(1-x^{2}\right)^{9 / 2}} \)

Bei g(x) erkenne ich leider nur, dass im Zähler die erste Zahl mit 2x, 3x, 4x, ... multipliziert wird.

Sieht vielleicht jemand ein Muster bei g(x) und kann mir bei beiden mit den Formeln helfen?

Answer 1

Einfacher geht es mit der binomischen Reihe:

\( \sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right) x^{k} \) für \( |x| \leq 1 \)
\( =1+\frac{1}{2} x-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4} x^{2}+\frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^{3}-\frac{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} x^{4} \pm \cdots \)