Ableitungen von f(x)=log(x) und allgemeine Formel für die n-te Ableitung

Question

Berechne alle Ableitungen von f(x) = log(x)

Gib die allgemeine Formel für die n-te Ableitung an.

Ich hab so angefangen:

f'(x) = 1/x

f''(x) = -1/(x²)

usw.

Wir haben folgende Formel aufgeschrieben, aber ich versteh nicht wofür die Variablen stehen.

$$ { f }^{ (n+1) }(x)\quad :=\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { f }^{ (n) }(x+h)-{ f }^{ (n) }(x) }{ h }  }  $$

Comments

Du erhältst die n+1 Ableitung wenn du die n. Ableitung nochmals mit Hilfe des Differentialquotienten ableitest.

Das ist die sogenannte h Methode. Allerdings hat man sich dafür ja eine reihe Ableitungsregeln hergeleitet.

Und da du sicher die Ableitungsregeln verwenden darfst ist die aufgeschriebene Formel unnötig für das Lösen der Aufgabe.

Answer 1

f ' (x₀) = lim_x→x0  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)}\)  = lim_h→0 \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\)  

ist die Definition der Ableitung einer Funktion f

Die n+1-te Ableitung  f⁽ⁿ⁺¹⁾ ist  die Ableitung der  n-ten Ableitung f⁽ⁿ⁾ ,

  also  f⁽ⁿ⁺¹⁾ =  f⁽ⁿ⁾ ' 

Wenn du  f⁽ⁿ⁾ für  f oben in die h-Formel einsetzt (x=x₀₎, hast du die in der Aufgabe angegebene Gleichung.

Allerdings wäre das bei der Berechnung der Ableitungen von log(x) sehr aufwändig.

Nimm dazu die Antwort von Mathecoach.

Gruß Wolfgang

 

Answer 2

Tipp: Du bildest so lange die Ableitungen bis du schön das Muster erkennen kannst, wie die Ableitungen sich zusammensetzen. Dann schreibst du den allgemeinen Term auf.

f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x = x^-1

f''(x) = -1 * x^-2

f'''(x) = -1 * (-2) * x^-3

f''''(x) = -1 * (-2) * (-3) * x^-4

f^n(x) = (-1)^{n-1} * (n-1)! * x^{-n}

Answer 3

Wenn mit log(x) der natürliche Logarithmus gemeint ist, gilt f⁽ⁿ⁾=(-1)^n-1(n-1)!/xⁿ. Mit f⁽ⁿ⁾ ist die n-te Ableitung gemeint.