a) Um die Standardabweichung von X zu berechnen, müssen wir zunächst die Varianz von X berechnen. Die Varianz von X ist definiert als E(X^2) - (E(X))^2. Da X eine diskrete Zufallsvariable ist, können wir die Erwartungswerte mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen:
E(X^2) = (-2)^2 * 0.2 + 1^2 * 0.35 + 3^2 * 0.45 = 4.96
E(X) = (-2) * 0.2 + 1 * 0.35 + 3 * 0.45 = 0.9
Varianz von X = E(X^2) - (E(X))^2 = 4.96 - (0.9)^2 = 3.61
Die Standardabweichung von X ist die Wurzel aus der Varianz von X:
σ_X = √(3.61) ≈ 1.9
b) Die Verteilungsfunktion von X ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x ist. Für eine diskrete Zufallsvariable lautet die Verteilungsfunktion:
F(x) = P(X <= x) = Σ(k<=x) P(X=k)
Für x = -2, F(-2) = P(X <= -2) = 0.2
Für x = 1, F(1) = P(X <= 1) = 0.2 + 0.35 = 0.55
Für x = 3, F(3) = P(X <= 3) = 0.2 + 0.35 + 0.45 = 1
Für x > 3, F(x) = 1
c) Der Median von X ist der Wert x_0, für den gilt: P(X <= x_0) >= 0.5 und P(X > x_0) >= 0.5
Da die Verteilungsfunktion von X entsprechend F(-2) = 0.2, F(1) = 0.55, F(3) = 1 ist, ist der Median von X der Wert x_0 = 1, da P(X <= 1) = 0.55 >= 0.5 und P(X > 1) = 0.45 >= 0.5
d) Um die Varianz von Y = 3X + 1 zu bestimmen, müssen wir zunächst die Erwartungswerte von Y berechnen:
E(Y) = E(3X + 1) = 3E(X) + 1 = 3(0.9) + 1 = 3.7
E(Y^2) = E((3X + 1)^2) = 9E(X^2) + 6E(X) + 1 = 9(4.96) + 6(0.9) + 1 = 46.74
Varianz von Y = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 46.74 - (3.7)^2 = 21.49
Die Standardabweichung von Y ist die Wurzel aus der Varianz von Y:
σ_Y = √(21.49) ≈ 4.62
