Ist (X,T) ein topologischer Raum und B eine Basis von T, so zeige man zunächst, dass für jedes x∈X{B∈ℬ:x∈B} eine Filterbasis des Umgebungsfilters U(x) von x ist. Schließlich zeige man, dass (X,T) separabel ist (enthält also eine abzählbare dichte Teilmenge), wenn (X,T) das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt!
Hinweis für den zweiten Teil: Man greife aus jedem B einen Punkt heraus, wobei B alle Mengen einer abzählbaren Basis durchläuft, und zeige die Dichtheit dieser Menge in X!
Ich hätte eh schon einen Beweis, muss nur wissen, ob der auch richtig ist:
Beweis:
ℬ ist eine Basis von T⇔ℬ⊆T mit ∀O∈T,x∈O:∃B∈ℬ:x∈B⊆O
U(x)={U⊆x∣∃O∈T:x∈O⊆U}
Es gilt also ∀O∈T mit x∈O:∃B∈ℬ(x):x∈B⊆O⇒∀U∈U(x):∃B∈ℬ(x):x∈B⊆O⊆U⇒daB(x)⊆U(x)(weilB∈ℬ(x)⊆T:x∈B⊆ℬ⇒B∈U(x)) folgt, dass ℬ(x) Filterbasis von U(x) ist.
2)
Sei ℬ={Bn:n∈ℕ} eine abzählbare Basis mit Bn≠∅ für ∀n∈ℕ⇒ jede nichtleere offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen in ℬ.
Wähle xn∈Bn.
Dann ist A={xn:n∈ℕ} dicht in X, d.h. A‾=x, weil:
Sei x∈X,U∈U⇒∃ ein m∈ℕ, sodass Bn⊆U⇒U∩A⊆Bm∩A⇒xm∈U∩A⇒U∩A≠∅⇒⇒x∈A‾
