Methode zur verknüpfung zweier lin, Abbildungen (Punkte)

Question

Gegeben sei Ihnen ein beliebiger Punkt v im R³. Überlegen Sie sich eine Methode mit der durch Verknüpfung zweier linearer Abbildungen das Bewegen des Punktes v auf einer Kugel mit Radius |v|im R³, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, simuliert werden kann. Geben Sie dafür die beiden verknüpften Abbildungen L_1 und L_2 als Abbildungsmatrix an und berechnen Sie die Abbildungsmatrix für L_1 verknüpft L_2. 

Was müssen Sie über die Drehung wissen, um diese Methode anwenden zu können? 
Kann mir jemand eine Ansatz nennen? 

Comments

Auf der Erde (sagen wir, das ist die Kugel mit Radius |v|) kann man jeden Zielpunkt erreichen, indem man Laengen- und Breitengrad aendert, auch strikt nacheinander. Das sind die beiden gesuchten Drehungen, einmal um die Erdachse und einmal um eine Achse senkrecht dazu.  Die Drehung um die Erdachse sieht dann z.B. so aus:

$$L_1=\begin{pmatrix}\cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$

Answer 1

Lies dazu auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

Eine Drehmatrix L1, die um die z-Achse dreht wurde dir bereits geschrieben. Nimm dazu nach eine Matrix, die beispielsweise um die y-Achse dreht.

Die Verknüpfung der beiden sollte dann auch keine großen Schwierigkeiten bereiten.

Comments

Also jetzt als z.B. für L1 die Drehmatrix um die x-Achse und für L2 die Drehmatrix um die y-Achse nehmen und die beiden Matrizen miteinander multiplizieren `?

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Genau. Was musst du dann noch über die Drehung wissen um diese Methode anwenden zu können?

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Da habe ich wenig Ahnung. Könnten Sie mir das bitte sagen?

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Kleiner Tipp Ist die Matrizenrechnung Kommutativ? Ist L1 * L2 das gleiche wie L2 * L1. Was folgt daraus ?

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Die Verknüpfung ist nicht Kommutativ. Heißt: es spielt also eine Rolle um wechle Achse man zu erst dreht. Korrekt?

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Genau. Hast du denn jetzt die Matrizen einzeln und die Verknüpfung ausgerechnet?

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Habe jetzt folgendes bestimmt für L2*L1

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &  cos\phi & -sin\phi \\ 0 & sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}  cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  cos\phi & -sin\phi & 0 \\ (cos\phi*-sin\phi & cos^2\phi & -sin\phi \\ sin^2\phi & (sin\phi*cos\phi) & cos\phi \end{pmatrix}$$