Satz des Pythagoras mit zeichnerisch inkorrekter Lösung

Question

Habe (sinngemäß) folgende Aufgabe bekommen. (Klasse 8, Gymnasium, G8)

"Die Diagonale eines Rechtecks ist 13cm lang. Eine Seite ist 7cm länger als die andere. Berechne die Seiten mit einer quadratischen Gleichung; Ansatz mit Hilfe des Satz des Pythagoras."

Daraufhin habe ich folgende Gleichung aufgestellt.

13² = a² + (a+7)²

Dann entsprechend die Binomi aufgelöst.

169 = 2a² + 14a + 49 | -49; :2

60 = a² + 7a | Quadratische Ergänzung

72,25 = a² + 7a + 12,25

72,25 = (a+3,5)² | √

8,5 = a+3,5 v -8,5 = a+3,5

a = 12 v a = -5

Nun mein Problem:

Klar ist -5² ebenfalls 25 und rechnerisch stimmt die Gleichung. Allerdings kann man die Seitenlänge -5 ja schlecht zeichnen. Außerdem ist -5 ja nicht 7 Einheiten kleiner als 12. Wo ist da jetzt der Fehler? Denn es müsste ja, um alle Kriterien zu erfüllen, die Lösungsmenge {5;12} herauskommen.

Comments

Deine Berechnungen berühren auch die Regel :
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

Beispiel
-a = a  ist falsch

-a = a | quadrieren
(-a)^2 = a^2
a^2 = a^2

Also hat das quadrieren aus einer falschen Aussage
eine richtige Aussage gemacht.

Alle Lösungen müssen durch Einsetzung die Ausgangsgleichung
überprüft werden.
Die Lösung a = -5 kann es in der Praxis nicht geben und entfällt somit.

---

Außerdem ist -5 ja nicht 7 Einheiten kleiner als 12. Wo ist da jetzt der Fehler?

Ein Fehler ist ein Denkfehler: Die Gleichung liefert nicht die beiden Seiten des Rechtecks, sondern deinem Ansatz entsprechend nur die kürzere Seite als ihre positive Lösung. Die negative Lösung liegt außerhalb des hier anzunehmenden Definitionsbereichs und muss daher nicht weiter betrachtet werden. Die längere Rechteckseite muss noch berechnet werden.

Ein anderer Fehler besteht darin, dass die Lösungsmenge { -12 , 5 } ist und nicht { -5 , 12 }!

---

@jf112
bezüglich meines Kommentars :
Es werden manchmal nicht die richtigen Texte angezeigt.
Obigen Text hatte ich schon überarbeitet und auch neu eingestellt.
Dieser ist irgendwie im Nirwana verschwunden.

Meine Korrektur lautete :

Alle Lösungen müssen durch Einsetzung die Ausgangsgleichung
überprüft werden. 

Außerdem hast du einen Fehler

72,25 = (a+3,5)² | √
8.5 = ± ( a + 3.5 )
1.
8.5 = + ( a + 3.5  )
a = 5
2.
8.5 = - ( a + 3.5  )
8.5 = -a - 3.5
a = -12

Die Lösung a = -12 kann es in der Praxis nicht geben und entfällt somit.

Answer 1

Im letzten Schritt vertauschst du die Vorzeichen, die Gleichung wird von a=5 und a=-12 gelöst. Allerdings a>0 vorausgesetzt (denn Längen sind per Definition nicht negativ), also ist a=5 die einzige Lösung.

Comments

Okay danke. Wo ist denn konkret der Vorzeichenfehler damit -12 und nicht -5 rauskommt?

Jetzt blicke ich auch, dass ich die 12 ja gar nicht brauche,  weil es gar keine 2 Variablen gibt.

---

Du hast ja 8,5 = a + 3,5, aber das heißt a= 5. (Und nicht 12.). Ebenso heißt -8,5=a+3,5, dass a=-12 ist.

---

Oh richtig. Die Umformung habe ich irgendwie im Heft komplett unkonzentriert gemacht, weil ich schon ziemlich frustriert ob der "komischen" Lösung war.