Komplexe Zahlen z hoch 4

Question

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Ich habe damit momentan Probleme, da ich in den Vorlesungen, aus Gesundheitlichen Gründen, nicht anwesend war.
Ich versuche mit momentan damit durchzuarbeiten, aber es klappt einfach nicht, da ich noch nicht verstanden habe, was genau ich da machen muss.

Wäre es möglich, dass mir wer hier weiter helfen könnte? Eventuell einen guten ansatz bzw. die einwenig mit rechenweg bearbeiten. Ich bitte nicht direkt um Lösungen.

  Aufgabe  (Komplexe Zahlen)

a) Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen

(imaginäre Einheit)

\( z^{4}=\frac{1+2 e^{i \frac{\pi}{2}}}{2+e^{-i \frac{\pi}{2}}} \)

Geben Sie die Ergebnisse auch in der kartesischen Form an.

b) Zeichnen Sie folgende komplexe Zahlen als Zeiger in eine Gauß'sche Zahlenebene ein:

\( 0,2,2+2 i, 1+3 i, 2 i \)

Verbinden Sie die Pfeilspitzen mittels Geraden. Was sehen Sie? Multiplizieren Sie nun alle fünf Zahlen jeweils mit der komplexen Zahl \( z=-\frac{1}{2} \sqrt{2}+\frac{1}{2} \sqrt{2} \) i. Zeichnen Sie das Ergebnis jeweils auch in die Gauß'sche Zahlenebene und verbinden Sie wieder die Pfeilspitzen mittels Geraden. Interpretieren Sie das Ergebnis!

Answer 1

1 + 2·e^{pi/2·i} = 1 + 2·i

2 + e^{- pi/2·i} = 2 - i

(1 + 2·i)/(2 - i) = i

z^4 = i = e^{[pi/2 + k·2·pi]·i}

z = e^{[pi/8 + k·pi/2]·i}

Comments

Ich bedanke mich für die super antwort, habe bis zu dem z⁴ alles verstanden und nachvollzogen (habe nebenher mit dem skript gearbeitet) und hänge gerade daran mich noch in die letzten beiden ausdrücke durchzuarbeiten, demnach sage ich schonmal: vielen dank und daumen hoch!! :D