Exponential- und Logarithmusfunktion, Gleichungen lösen

Question

Hi!

Wo liegt mein Fehler?

5^x+2 + 5^x = 58,14 | log

log(5^x+2) + log(5^x) = log(58,14) | "3.Gesetz"

(x+2)*log(5) + x*log(5) = log(58,14) |log(5)

(x+2) +x = log₅(58,14) | -2

2x=  log₅(58,14)-2 |:2

x= [log₅(58,14)-2]:2 =0,262196 

In der Musterlösung steht:

Ausklammern von 5^x 

5^x (5² +1) = 58,14

....

x=0,5

Diese Variante leuchtet mir zwar auch ein, wüsste aber nicht, warum "meine" falsch ist.

Luis

Comments

ist

LOG(a + b) = LOG(a) + LOG(b)

??? Wenn nicht ist da doch gleich ein dicker großer Fehler.

Answer 1

5^{x + 2} + 5^x = 58.14

25·5^x + 5^x = 58.14

26·5^x = 58.14

5^x = 58.14/26

x = LN(58.14/26) / LN(5) = 0.5000238598

Answer 2

Hi das stimmt schon am Anfang nicht. Es gilt \( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \) aber nicht \( \log(a+b) = \log(a)+\log(b) \)
Das geht aber auch anders. Ausklammern von \( 5^x \) ergibt
$$ 5^x \cdot 26 = 58.14  $$ also
$$ x = \frac{1}{\ln(5)} \cdot \ln \left( \frac{58.14}{26} \right) $$

Comments

wo hab ich denn log(a) + log(b) = log(a+b) angewandt ?

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Von der ersten auf die zweite Zeile

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hab doch da nur den logarithmus angewandt, darf man das nicht?

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Dann musst Du ihn aber auf die ganze linke Seite anwenden und nicht nur auf die einzelnen Summanden.

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also  log(5^x+2 + 5^x) ?

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Genau, und das ist nicht das was Du hingeschrieben hast sondern der Fehler.

Answer 3

Der erste Schritt ist nicht erlaubt!