Question

Extremwertaufgabe: Einen Halbkreis vom Radius r ist das Tapez größten Flächeninhalts einzubeschreiben. Berechnen Sie die Seitenlängen und den Inhalt dieses Trapez.

(Unvollständig Skizze: m und h fehlen)

Soweit bin ich aktuell gekommen:

$$ { A }_{ Trapez }=mh=\frac { 1 }{ 2 } (a+c)h $$

$$ m=\frac { 1 }{ 2 } (2r+c) $$

$$ { A }_{ Halbkreis }=\frac { \pi { r }^{ 2 } }{ 2 }  $$

$$ { r }^{ 2 }=\frac { 2A }{ \pi  }  $$

Nun weiß ich nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Vielleicht geht es ohne Skizze.

Ich verwende
r^2 = x^2 + y^2
y = √ ( r^2 - x^2 )
y ist das h des Trapezes

Ich betrachtet nur den rechten Teil des Trapezes, da Symmetrie
vorhanden ist.

A ( x ) = ( r + x ) / 2 * h
A ( x ) = ( r + x ) / 2 * √ ( r^2 - x^2 )
1.Ableitung bilden, zu 0 setzen und x berechnen
x  = r / 2

a= 2 * r
c = 2 * x

Comments

Erstmal Danke für deine schnelle Antwort. Folgende Dinge sind mir leider unklar:

1) Wieso nutzt du r² = x² + y^{2 ?}

^{2) "}Ich betrachtet nur den rechten Teil des Trapezes, da Symmetrie 

vorhanden ist. "

Wieso ist das die Hälfte des Flächeninhaltes?
A ( x ) = ( r + x ) / 2 * h 
Wenn ich die Hälfte von A=mh nehme, komme ich auf A=(mh)/2 => A=(a+c)/4 * (h/2) => A=(r+c)/4 * (h/2)Habe ich da einen Denkfehler?

---

Ein Kreisviertel hat im Koordinatensystem
folgende Funktionsgleichung

Der Flächeninhalt des dargestellten Trapezes ergibt sich dann wie
dargestellt.
Das Maximum ist dasselbe wie das des Trapezes in der Aufgabenstellung.

Answer 2

Also  !!

Atrapez (c,h) = 2c+2r/2  * h , 2 kürzen →  = (c+r)  *  h

Substit.: 2c /a =  2r

r² = h²+z² ===> h² = r² - z² , Einsetzen in (Atr)²

(Atr)² =( c+r)²  *  ( r² - c² )= c^4- 2rc³+2r³c+r^4

1.Abl.   -4c³ -6rc²+2r³

2.Abl  -12c² -12rc  <  0

c1 =-r , keine Lösung !

c2= r/2  , Lösung !

h = ( √3/2 )  * r  , Resubst.  c = r

Comments

Woher kommen die 2c in Atrapez (c,h) = 2c+2r/2  * h  ?

Answer 3

Ursprünglich habe ich mit den Veränderlichen c und h gespielt, bis ich dann eine meiner Grundideen aufgriff. Warum tu ich nicht einfach dimensionslose Modellparameter ß und µ einführen?

c/2  =:  ß  R     (  1a  )

h  =  µ  R      (  1b  )

Die Lösung (  ===>  Lagrangeverfahren ! )  frappierte mich der Maßen, dass ich mir Folgendes sagte: Sämtliche Lösungen sind geometrisch ===> ähnlich; auf den Radius R kommt es doch gar nicht an. Das einzige, was hier intressiert, ist der Winkel

ß  :=  OBC     (  2  )

c/2  =  R  cos  (  ß  )    (  3a  )

h  =  R  sin  (  ß  )     (  3b  )

F  =  R  ²  [  1  +  cos  (  ß  )  ]  sin  (  ß  )     (  3c  )

Ableitung von ( 3c )  mittels Produktregel

F  '  =   R  ²  [  1  +  cos  (  ß  )  ]   cos  (  ß  )  -  R  ²  sin  ²  (  ß  )  =  0    (  4a  )     

Den Sinusterm wandeln wir mittels Pythagoras in Kosinus um; über die Substitution

x  :=  cos  (  ß  )   (  4b  )

landest du bei der quadratischen Gleichung

2  x  ²  +  x  -  1  =  0       (  4c  )

Die Lösung von ( 4c ) ist trivial; hier das schaff ich ohne Mitternachtsformel ( MF ) in einer Sekunde im Kopf - d.h. wenn jemand so viel Routine drauf hat wie ich. Dann erkenne ich ( 4c ) auch jedesmal wieder.  Wie ich das mache? Schaut mal was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Hast du dich von deinemersten Schreck erholt?

Den " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN ) wirst du dein Leben lang  nicht mehr vergessen.

Ach; WARUM ist Wurzel 2 irrational bzw. 4711 ^ 1/7  ?

Ich seh grad; ein ganz ein schlechtes Gewissen haben die bei Wiki .

Demnächst sollen wir wohl noch alle unterschreiben, der SRN sei von Gauß.

Warum kennt dann dein Pauker den SRN nicht?

Und warum hat sich der Beweis mit Wurzel 2 über den SRN im Laufe der letzten 200 Jahre nicht durchgesetzt?

Ja es kommt noch besser. Für eine quadratische Gleichung wie ( 4c ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder sie zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren

x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q    (  5a  )

Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, stellte ich im Hinblick auf ( 4c;5a ) zwei pq-Formeln auf - und ihr wisst, wie wichtig dass pq-formeln sind

p1  p2  =  a0  =  (  -  1  )    (  5b  )

q1  q2  =  a2  =  2   (  5c  )

Das Einzige, was jetzt noch zweideutig bleibt, ist das Vorzeichen. Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta ( der Normalform ) von    (  4c  )

x  ²  +  1/2  x  -  1/2  =  0       (  6a  )

x  ²  -  p  x  +  q  =  0    (  6b  )

p  =  x1  +  x2     (  6c  )

x1  =  (  -  1  )  ;  x2  =  1/2    (  6d  )

x1 entspräche einem entarteten Trapez  mit ß = 180 °  ; also Antwort: winkel ß = 60  °

Comments

Ach das Wichtigste hab ich ja nochvergessen - Gauß war doch ein Genie.
   Meine pq-Formeln versetzen jener These den Todesstoß, der SRN könne von Gauß stammen . War der wirklich so doof, die bedeutung hinter ( 5bc ) zu erkennen?
   Ich muss wohl auserwählt sein; denn niemand vor mir kam in den letzten 200 Jahren dahinter ...
   Nein von dem SRN hatte Gauß Null Ahnung. In Wirklichkeit wurde er vor noch nicht mal fünf Jahren entdeckt und in irgendeine Webpage gestellt - was weiß ich.

   Rembrandts fälschen ist nicht leicht; auch Gauß nicht ...
    An sich liegt es aber nahe; ===> diophantische Gleichungen sind eine hoch aktuelle Baustelle. Die Matematiker vom Fach werden sich damit trösten, dass auf diesem Gebiet beinahe täglich wahre Wunder vollbracht werden.