Nullstellen in Abhängigkeit von Parameter... 1.Fall 2. fall.....

Question

Ich schaffe es zwar die Nullstellen rauszubekommen aber ich versteh das mit den Fällen nicht... Was ist da das Ziel? Manchmal hat man nur 2 Fälle manchmal auch 3... Ich hab jetzt z.B. -xhoch 3 +4x hoch 3 - tx , ich soll alle Werte des Parameters ausrechnen für 2 Nullstellen. Das habe ich auch gemacht und als Erfebnis habe ich 4 > t . Soweit stimmts ja aber danach kommen so Fälle etc... Da ist z.B der 1.Fall: t=4  = genau 2 Nullstellen x1 = 0 (einfach.. Wie kommt man darauf?) und x2,3 = 2 (doppelt...???????) dann gehts noch weiter... Kann mir das jemand erklären wie ich sehen kann wie viele nst der jeweilige Fall hat und wie ich auf die Vielfachheiten komme? Lg

Comments

f ( x ) = - x^3 + 4 * x^3- t * x

Stimmt die Funktion ? Wahrscheinlicher ist

f ( x ) = - x^3 + 4 * x^2 - t * x

Answer 1

Hi, ich versteh das nicht richtig, die Gleichung lautet doch

$$ f(x,t) = -x^3  + 4x^3 - tx = 0  $$

Die Lösungen sind \( x_1=0 \), \( x_{2,3} = \pm\sqrt{ \frac{t}{3} } \)

Insofern versteh ich Deine Argumetation nicht.

Comments

Das hab ich ja au h rausbekommen aber dann macht man noch fallunterschiede wie zB t=4, t < 4 und t= 0 ... Das versteh ich nicht und daran sieht man irgendwie die Vielfachheit der NST...

---

Hier musst Du nur \( t < 0 \), \( t > 0 \) und \( t = 0 \) unterscheiden.

Im ersten Fall hast Du drei Lösungen, davon zwei komplexe. Im zweiten hast Du drei reelle Lösungen und im dritten Fall hast Du nur eine Lösung.

---

Genau das ist jetzt mein Problem, warum muss ich unterscheiden und woher weis ich das es zB dafür 3 Lösungen gibt? Setzt ich irgendwo was ein oder wie?

---

Bei \( t < 0 \) gibt es konjugiert komplexe Lösungen weil ja \( t \) unter der Wurzel steht. Für \( t > 0 \) gibt es zwei reelle Lösungen. Und für \( t = 0 \) ist \( \sqrt{t} = 0 \). Bei einem Wurzelausdruck muss man immer die Diskriminante auf diese drei Fälle untersuchen.

---

Ich glaube nicht, dass diese (einfache) Frage mit konjugierten komplexen Lösungen gelöst wird. Komplexe Zahlen werden in der Oberstufe nicht behandelt. Aber Ullims Lösung ist richtig.

Ich probier allerdings mal ebenfalls eine (hoffentlich einfacher dargestellte) Antwort zu geben:
Dass du die Nullstellen der Gleichung mit t bereits rausbekommen hast ist schonmal super - hier haben die meisten die Probleme.

Also jetzt weißt du, dass es grundsätzlich 3 Lösungen gibt:
x₁=0    x_2,3=±√(t : 3)

Diese Fälle die jetzt unterschieden werden, haben ja mit t zu tun, dass heißt die Lösung x₁=0 gibt es bei 'allen Varianten'.

Jetzt musst du dir x_2,3 anschauen. Es fällt auf, dass t unter der Wurzel steht. Ganz allgemein ist bei Wurzeln darauf zu achten, dass wir die Wurzel von negativen Zahlen nicht berechnen können. Also müssen wir unterscheiden, was passiert wenn t einmal negativ und einmal positiv ist.
-> negatives t: da die 3 positiv ist bleibt eine negative Zahl unter der Wurzel. Wir können keine Lösung durch das Wurzelziehen bekommen. Das hat nichts mit dem ± vor der Klammer zu tun - dazu kommen wir praktisch nicht weil wir an dem Wurzelziehen zu recht scheitern. Es gibt hier keine Lösung für eine negative Zahl unter der Wurzel. Folglich bleibt uns hier nur unsere Lösung x₁=0. 
-> positives t: da die 3 positiv ist bleibt eine positive Zahl unter der Wurzel. Wir können somit die Wurzel ziehen und erhalten eine Zahl. Das Ergebnis ist ja nicht weiter wichtig. Jetzt wird das ± wichtig, da unser x₂ das Ergebnis mit *1 darstellt und x₃ das Ergebnis mit einer *(-1). Also haben wir jetzt insgesamt 3 (unterschiedliche) Ergebnisse.
-> t=0: die Null ist ja häufig ein Sonderfall, den man näher betrachten muss. Hier ist 0:3 ja Null, die Wurzel von 0 ist ebenfalls 0 und bei dem ± wird es nun:  0*1 und 0*(-1) ist beides 0. Da x₁=0 aber auch schon ein Ergebnis ist, das wir bereits herausbekommen haben, haben wir hier nur eine Lösung, da jedes mal x_1,2,3=0 herauskommt. Jetzt kannst du noch darauf eingehen, dass wir hier zwar nur eine Lösung rausbekommen, dies allerdings 3 Mal. Somit liegt hier ein Sattelpunkt vor.

Allgemein für die Anzahl 'derselben' Lösungen gilt:
1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit x-Achse
2-fache Nullstelle: Berührstelle mit x-Achse
3-fache Nullstelle: Sattelpunkt auf x-Achse

Also kurzes Fazit: Es ist immer unterschiedlich, welche Fälle man unterscheiden muss. Es wird dann allerdings im Kopf dein t ersetzt und geschaut, was als Ergebnis rauskommen könnte, wenn t xy wäre (t=0; >0, vielleicht auch mal <4 etc).
In der Aufgabe um die es gerade geht, ist es vergleichbar mit der Mitternachtsformel. Die Wurzel ist ja hier auch entscheidend, ob es keine Lösung (negative Zahl unter der Wurzel), eine Lösung (Wurzel ist 0 und das ± entfällt) oder eben 2 Lösungen gibt (positive Zahl unter der Wurzel und ein ±)....

Ich hoffe ich konnte helfen :) Sollte ich etwas falsch dargestellt haben dann korrigiert mich bitte! Solltest du noch eine ähnliche Aufgabe (mit anderen Ergebnissen) haben können wir die ja ebenfalls besprechen, damit du die notwendigen unterschiedlichen Ansätze beim Lösungsweg besser erkennst!?

---

Mit deinem Beitrag  hast du dir aber viel Mühe gegeben.

Was sich nicht verstehe :
t=0: die Null ist ja häufig ein Sonderfall, den man näher betrachten muss.
Hier ist 0:3 ja Null, die Wurzel von 0 ist ebenfalls 0 und bei
dem ± wird es nun:  0*1 und 0*(-1) 

Wo kommt die 1 bzw. -1 her ?
t = 0
x = ± √ ( t / 3 ) = ± √ 0 = 0

Während ich dies schreibe kommt mir eine Idee wie du das
meinst
x = ± √ ( t / 3 ) = ± √ 0

x2 = + 0
und
x3 = - 0

---

Danke sehr - ich hoffe es war als Kompliment gemeint ;)

 Ich denke einfach dass ein umfassender Lösungsweg manchmal hilfreich ist. Gerade, wenn man Schwierigkeiten mit der Abgrenzung zu anderen ähnlichen Problemen hat. Dann ist es hilfreich die 'Denkschritte' vorzugeben und nicht nur die Lösung an sich. 

Ja, das hast du richtig erkannt. Mit dem *1 und *(-1) habe ich versucht das ± darzustellen :D Ist ja im Prinzip nichts anderes ;)

---

Danke sehr - ich hoffe es war als Kompliment gemeint ;)
War als Kompliment gemeint.

Answer 2

f(x) = - x^3 + 4·x^2 - t·x = - x·(x^2 - 4·x + t)

x^2 - 4·x + t = 0
x = 2 ± √(4 - t)

Du hast hier in Abhängigkeit von t also drei Terme für die Nullstellen

x1 = 0 ; x2 = 2 + √(4 - t) ; x3 = 2 - √(4 - t)

Für t > 4 gibt es die eine Nullstelle x = 0
Für t = 4 gibt es zwei Nullstellen bei x = 0 und x= 2 (d.N.)
Für t = 0 gibt es zwei Nullstellen bei x = 0 (d.N.) und x = 4
Für andere werte von t gibt es drei Nullstellen

Setzte mal die Werte für t oben in die Lösungen ein. Dann wird es etwas klarer.

Comments

Der Vollständigkeit halber wäre noch anzuführen
Für t < 4 gibt es die eine Nullstelle x = 0
( Lösungen mit komplexen Zahlen ausgeschlossen )