Ich glaube nicht, dass diese (einfache) Frage mit konjugierten komplexen Lösungen gelöst wird. Komplexe Zahlen werden in der Oberstufe nicht behandelt. Aber Ullims Lösung ist richtig.
Ich probier allerdings mal ebenfalls eine (hoffentlich einfacher dargestellte) Antwort zu geben:
Dass du die Nullstellen der Gleichung mit t bereits rausbekommen hast ist schonmal super - hier haben die meisten die Probleme.
Also jetzt weißt du, dass es grundsätzlich 3 Lösungen gibt:
x1=0 x2,3=±√(t : 3)
Diese Fälle die jetzt unterschieden werden, haben ja mit t zu tun, dass heißt die Lösung x1=0 gibt es bei 'allen Varianten'.
Jetzt musst du dir x2,3 anschauen. Es fällt auf, dass t unter der Wurzel steht. Ganz allgemein ist bei Wurzeln darauf zu achten, dass wir die Wurzel von negativen Zahlen nicht berechnen können. Also müssen wir unterscheiden, was passiert wenn t einmal negativ und einmal positiv ist.
-> negatives t: da die 3 positiv ist bleibt eine negative Zahl unter der Wurzel. Wir können keine Lösung durch das Wurzelziehen bekommen. Das hat nichts mit dem ± vor der Klammer zu tun - dazu kommen wir praktisch nicht weil wir an dem Wurzelziehen zu recht scheitern. Es gibt hier keine Lösung für eine negative Zahl unter der Wurzel. Folglich bleibt uns hier nur unsere Lösung x1=0.
-> positives t: da die 3 positiv ist bleibt eine positive Zahl unter der Wurzel. Wir können somit die Wurzel ziehen und erhalten eine Zahl. Das Ergebnis ist ja nicht weiter wichtig. Jetzt wird das ± wichtig, da unser x2 das Ergebnis mit *1 darstellt und x3 das Ergebnis mit einer *(-1). Also haben wir jetzt insgesamt 3 (unterschiedliche) Ergebnisse.
-> t=0: die Null ist ja häufig ein Sonderfall, den man näher betrachten muss. Hier ist 0:3 ja Null, die Wurzel von 0 ist ebenfalls 0 und bei dem ± wird es nun: 0*1 und 0*(-1) ist beides 0. Da x1=0 aber auch schon ein Ergebnis ist, das wir bereits herausbekommen haben, haben wir hier nur eine Lösung, da jedes mal x1,2,3=0 herauskommt. Jetzt kannst du noch darauf eingehen, dass wir hier zwar nur eine Lösung rausbekommen, dies allerdings 3 Mal. Somit liegt hier ein Sattelpunkt vor.
Allgemein für die Anzahl 'derselben' Lösungen gilt:
1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit x-Achse
2-fache Nullstelle: Berührstelle mit x-Achse
3-fache Nullstelle: Sattelpunkt auf x-Achse
Also kurzes Fazit: Es ist immer unterschiedlich, welche Fälle man unterscheiden muss. Es wird dann allerdings im Kopf dein t ersetzt und geschaut, was als Ergebnis rauskommen könnte, wenn t xy wäre (t=0; >0, vielleicht auch mal <4 etc).
In der Aufgabe um die es gerade geht, ist es vergleichbar mit der Mitternachtsformel. Die Wurzel ist ja hier auch entscheidend, ob es keine Lösung (negative Zahl unter der Wurzel), eine Lösung (Wurzel ist 0 und das ± entfällt) oder eben 2 Lösungen gibt (positive Zahl unter der Wurzel und ein ±)....
Ich hoffe ich konnte helfen :) Sollte ich etwas falsch dargestellt haben dann korrigiert mich bitte! Solltest du noch eine ähnliche Aufgabe (mit anderen Ergebnissen) haben können wir die ja ebenfalls besprechen, damit du die notwendigen unterschiedlichen Ansätze beim Lösungsweg besser erkennst!?
