Taylor Reihe f(x)=(x^2+6x-16)/(x^2+3x-40) -2<x<2 x0=0

Question

$$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+6x-16 }{ { x }^{ 2 }+3x-40 } $$  -2<x<2    x0=0

Guten Tag

Ich soll die Funktion um den Punkt x0 in einer Taylorreihe entwickeln.

Kann mir jemand zeigen wie ich die n-te ableitung finde?In der Regel haben wir jetzt immer zur 3.abl höchstens 4. abl gerrechnet. Aber ich sehe die n-te ableitung nicht.

Answer 1

Du kannst deinen Funktionsterm auch anders schreiben:

(x+8)(x-2)  /  ( (x-5)*(x+8)   und für x ungleich -8 kannst du kürzen und

hast   f(x)= (x-2) / (x-5)  und da klappt das mit den Ableitungen deutlich besser

f ' (x) =   -3  /  ( x-5)^2

f ' ' (x) = 6 / ( x-5)^3

f ' ' ' (x) =  -18 / (x-5)^4

f ⁽⁴⁾ (x) = 72 / (x-5) ^5

etc.    :-)

Comments

Nach welcher Formel hast du zähler und nenner umgeformt?

Vielen dank für die Hilfe.

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also ich würde durch rumprobieren auch daraufkommen, aber gibt es dafür einen rechnerischen weg?

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Setze einfach einzeln Zähler und Nenner = 0

Dann bekommst du die Zahlen in den Klammern

mit umgekehrten Vorzeichen

(Satz des Vieta)

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bei der 1. abl. hast du -3 raus, aber bei mir ist es -7. Ist meins vielleicht falsch?

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abl. mit Quotientenregel

bei u  /  v  gibt es  ( v*u ' - u * v ' ) /    v ^2

hier also bei f(x)= (x-2) / (x-5)

(   (x-5) * 1  -   ( x - 2 ) * 1   )   /   ( x-5)^2

= (   x-5  -  x +  2    )   /   ( x-5)^2

=     -3   /   ( x-5)^2

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ja stimmt hab mich verrechnet

Danke