Stimmen diese Aussagen zu Eigenwerten?

Question

ich sitze derzeit an dieser Aufgabe zu Eigenwerten und Ähnlichkeiten und bin mir da nicht ganz sicher. Daher bitte ich hier um eure Hilfe:

Bei der a) dachte ich, dass die Antwort "Ja" sein müsste, da hier https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Matrix) gesagt wird, dass zwei ähnliche Matrizen die gleiche Determinante besitzen.

b) Laut Wikipedia auch "Ja", aber ich bin mir nicht sicher, ob beide Richtungen gelten

c) Hier auch laut Wikipedia "Ja" aber auch hier das Problem, dass ich nicht weiß, ob beide Richtungen gelten.

Bei d) und e) habe ich noch keinen Ansatz.

Comments

Aussage 5 ;  ich muss dir leider die Wahrheit sagen. Beschäftige dich bitte mit ===> Elementarteiler ( ET ) Theorie .    Z.B. Kowalsky oder Greub; jeweils Bd. 2 .

Ach übrigens; es gibt weder eine " algebraische " noch eine " geometrische " Vielfachheit. In den Textbüchern habe ich sowas noch nie gelesen; auch unser Prof hat das nie behauptet. Es gibt nur DIE Vielfachheit; und die bezieht sich immer auf die Säkulardeterminante   ( SD )

Die wichtige Information steckt aber gar nicht in der SD , sondern im ===> Minimalpolynom der Matrix. Die Wurzeln des Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix . Das Minimalpolynom erweist sich als Teiler der SD  ===> jede Matrix löst ihre eigene SD .

Das Minimalpolynom definiert eine ===> ortokomplementäre Zerlegung der ===> Eins . Dabei wird jedem Eigenwert ein Komponentenraum ( KR ) zugeordnet.

Kennst du die anschauliche geometrische Bedeutung hinter der Vielfachheit von Eigenwert E ?

Das ist nämlich genau die Dimension seines KR ( Ein Zusammenhang mit der Anzahl eigenvektoren zum Eigenwert E besteht hier überhaupt nicht. )

Und mit dieser anschaulichen Deutung der Vielfachheit begreifst du mit einem Mal, dass Aussage 5 wahr ist . In der Diagonale steht immer der Eigenwert ===> Dreiecksdarstellung ; und wegen obiger dimensionsregel kommt jeder Eigenwert genau so oft vor, wie seine Entartung angibt.

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"   Ach übrigens; es gibt weder eine " algebraische " noch eine " geometrische " Vielfachheit"

Die gibt es ehr wohl und das sind absolute Standardbegriffe in diesem Kontext.

Die Aussage träfe allerdings auf den Begriff "Sekundärdeterminante" zu.

Mit Elementarteilern hat das ganze in Wahrheit herzlich wenig zu tun.

 Trollst du oder hast wirklich überhaupt keine Ahnung?

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Ihr alle sagt " charakteristisches Polynom "   Astronomie war übrigens mein erstes Hobby; die Astronomen, übrigens Erfinder des Eigenwertproblems, sprachen von der " Säkulardeterminante " ( SD )  weil sie in ihrer Störungsrechnung diese Eigenwerte für ===> säkulare Störungen bekamen.

In Aufg. 5 ist eine Aussage über die Spur einer Matrix. Diese lautet ( z.B. Ernst Boerner )

" Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte, ein jeder genommen mit seiner ( algebraischen ) Vielfachheit. Die nähere Begründung ergibt sich aus der ET Theorie. "

Beherrschst du ET ? Wenn ja  ( was dir zu wünschen wäre ) erübrigen sich deine sämtlichen Fragen. Als mir diese ET nämlich erstmals klar wurden, hatte ich das Gefühl " Jetzt hast du's endlich verstanden. "

Ein Troll bin ich an sich nicht. Ich war schon bissele in Sorge, dir Dinge erklären zu müssen, die du an sich nicht verstehst.

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Schön dass du dir mittlerweile selber widersprichst, und jetzt auch den deiner Meinung nach nicht-existenden Begriff der algebraischen Vielfachheit verwendest. Damit hat sich dann auch meine letzte Frage geklärt: Beides,.

Answer 1

1.. Sagt dir der ===> Determinanten-Multiplikationssattz etwas?

det  (  A  B  )  =   det  (  A  )  det  (  B  )   (  1  ) 

Was heißt " ähnlich " ?

A  '  =  T  A  T  ^ - 1       (  2  )

Was folgt für det  (  A  '  )  aus   (  1;2  )  ?

2)  nein; an sich für dich ein lehrreiches Beispiel.  Da ich es widerlegen will, genügt ja nur ein einziges Gegenbeispiel

Gleiche Eigenwerte zu haben, ist eine notwendige, aber keineswegs hinreichende Bedingung für Ähnlichkeit. )

Wenn eine Matrix ähnlich ist zur Nullmartrix, dann folgt, dass sie selbst die Nullmatrix ist - hast du das eingesehen?

Ich werde dir jetzt eine Matrix A nennen, von der ich beweisen werde, dass sie nur Eigenwert Null hat:

0   1

A  =      0  0        (  3a  )

(  3a  )  ist singulär - eine Zeile bzw. Spalte ist Null. Aha; ein Eigenwert E1 von A ist Null. Und der zweite? Bilden wir die Spur

Sp  (  A  )  =  E1  +  E2  =  0  ===>  E2  =  0    (  3b  )

A ist aber, wie wir oben sagten, nicht ähnlich zur Nullmatrix .

3) Ich kenn mich zufällig bissele aus; ich schätze mal, mit " Chi " meinst du den Charakter ( die Spur ) einer Matrix. Antwort: sicher nein . Siehe oben unter   (  3a  )

Zu den Begriffen Charakter und Ähnlichkeit vgl. Ernst Boerner; Darstellungsteorie. Ein Klasse Buch.

Die schönste matematische Theorie, die mir je begegnet ist.

Was meint er mit ' g ' und ' m ' ; ihr müsst immer auch die ganzen Bezeichnungen von euren Profs erklären.

Comments

Das "chi" ist die Standardschreibweise für das charakteristische Polynom, genauso wie es Tr bzw. Sp für die Spur sind.

Und ich hab noch nie den Begriff "Charakter einer Matrix" gesehen. Was du scheinbar beschreibst ist  der begriff Charakter eine Gruppe, der gegeben ist durch die Spur der darstellenden Matrix der Gruppe.

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Danke für die schnelle Antwort. Habe vergessen die Definitionen hinzuzufügen, tut mir Leid.

mit g ist die geometrische Vielfachheit von a als Eigenwert von ϕ definiert (g_a (phi))

mit m ist die algebraische Vielfachheit von a als Eigenwert von phi gemeint (m_a (phi))

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Zu dem Charakter einer Matrix . Die Darstellungsteorie ( endlicher ) Gruppen bzw. der Gruppenring ist eine Erfindung von Ernst Burnside.

Burnside bezeichnet als Charakter ( Formelzeichen Chi ) die Spur einer Matrix und leitet die Aussagen ab, dass der Charakter eine Funktion einerseits der Klasse ist und andererseits der ( irreduziblen ) Darstellung . wobei zwei Darstellungen als gleich gelten, wenn sie äquivalent sind ( Fragesteller hat Schwierigkeiten mit dem Begriff " ähnliche Matrizen " ) Und zwar beweist Burnside, dass die ===> Charakterentafel quadratisch ist und ortonormalen Vollständigkeitsbeziehungen gehorcht so wohl nach Zeilen als Spalten.

Das ist quasi immer noch ein ===> Mausefallenbeweis a la ===> Schopenhauer. Der genialen Emmy Noether war es ja vergönnt

" Ein guter Beweis muss aus lauter trivialen Legosteinen bestehen. "

zu beweisen, dass dieser Gruppenring ein Hauptidealring ist

War Emmy Ehrenmitglied einer Freimaurerloge?

Ich verweise auf das ausgezeichnete Lehrbuch von Ernst Boerner.

Es ist die wohl großartigste matematische Theorie, die mir bis Heute begegnet ist; ich geriet Regel recht ins Schwärmen. Werner Heisenberg

" Mathematische Aussagen besitzen eine innere Schönheit, die sich dem Laien nicht erschließt. "

Answer 2

Gegenbeispiel zu d)

110
021
112

und

110
104
204

haben beide Spur=5

und det = 4

aber char. Polynome

x^3 +5x^2-3x+4  und

x^3+5x^2-7x+4

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Heißt das meine Annahmen zu a),b) und c) stimmen? Also gelten die Wikipedia Aussagen in beide Richtungen?

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NEIN  ;  ich sagte es schon.  Zwei Matrizen mit gleicher Determinante sind doch nicht zwangsläufig ähnlich. So hat die 2 X 2 Einheitsmatrix die Determinante 1 ; und jtzt definierst du H , indem du einen Eigenwert setzt 1/2 und den zweiten Eins. Gibt auch Determinante Eins .

b) ist weine falsche Behauptung; siehe das Gegenbeispiel in meiner eigenen Antwort - oder hast du es nicht verstanden?

c) ist falsch. Hier ich bleib eben doch Siefger mit meinen ET,  Wenn du gersagt hättest:

" Zwei Matrizen sind schon dann ähnlich, wenn sie das selbe MINIMALpolynom haben. "

Damit hättste mich echt arg in Zugzwang gebracht - ich weiß es wirklich nicht.

Aber die SD is doch " gar nix wert " Das Minimalpolynom ist ein Teiler der SD .

Zu c) ich will dir jetzt endlich mal die Notwendigkeit in den Kopf hämmern, dich mit ET zu beschäftigen. Wir befinden uns im R ^ 4711 . Sämtliche Matrizen A , die im |R ^4711 NUR EIGENWERT NULL haben, haben die SD

Chi ( X  ;  A )  =  x  ^   4711   (  1  )

Das ist ganz einfach deshalb so, weil die Summe der Vielfachheiten sämtlicher Eigenwerte die Dimension 4 711 ergeben muss; konntest du mir bis Hierher geistig folgen?

Eine der wichtigsten Erkenntnisse der ET Theorie. Jede Matrix lösrt ihre eigene SD .   Also muss A NILPOTENT sein

A  ^  4711  =  0    (  2  )

Dass wir diese Beschränkung haben, diese Abschätzung, war dir vielleicht gar nicht klar.

aber was ist denn nun das Minimalpolynom dieser Matrix?  A ^ 100 = 0 ?  Oder A ²  = 0  ?

Verstehst du; eine Matrix A mit A ² = 0 hat doch die selbe SD wie eine Matrix B mit B ^ 100 = 0 .

Aber " nie in se Leben "  können A und B ähnlich sein; Ähnlichkeit ist doch nix weiter als Basistransformation.

Ist jetzt diese Botschaft bei dir angekommen? würde mich freuien; ETwaren schon immer mein Hobby ...

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Alles klar. Danke für die schnelle Antwort.

Und die letzte Frage stimmt also nicht?

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DOCH ; DIE STIMMT .   Gerade hier siehst du, wie irre führend dieses Geschwafel von " geometrischer Vielfachheit " g ist; in den mir bekannten Textbüchern - selbst in Wiki - werden da ganz andere Ausdrücke eingeführt ===> direkte Zerlegung ===> zerfällbar ===> halbeinfach

Was in der Aufgabe " algebraische " Vielfachheit m genannt wird,  heißt in der Literatur schlicht " Vielfachheit " ohne jeden adjektivischen Zusatz.

Eine Aussage, die trivial wahr ist. Du hast zwei Polynome p und q. Von denen ist bekannt, dass sie die selben Wurzeln besitzen - sogar noch dazu in der selben Vielfachheit. 

p  =  (  x  -  x1  )  ^  n1  *  (  x  -  x2  )  ^  n2  *  . . .  *  [  x  -  x ( k )  ]  ^  n ( k )  =  q    (  1  )

Wenn du einmal  " for the time being " unterstellst, wie wir Angelsachsen sagen, die beiden Matrizen unterscheiden sich in ihrer " geometrischen Vielfachheit "   Auf die SD in ( 1 ) hätte das doch gar keinen Einfluss; na siehste mal wieder, wie überflüssig dieser Begriff ist. Der geht doch nirgends in unsere Argumentation ein.

Aber nach der Umkehrung pflegtest du dich zu erkundigen. die hieße doch

" Wenn zwei Matrizen A und B die selbe SD haben, haben sie die selben Eigenwerte und auch in der selben Vielfachheit. "

Stimmt schon - mit einem kleinen " Aber " Und deshalb hat euer Prof diese Umkehrung wahrscheinlich unterschlagen.

Stets setzt er Körper K voraus. Dass die SD über K zerfällt - wie hier angenommen - ist an sich eine sehr starke Annahme; z.B. müssen die Eigenwerte ganzzahliger bzw. rationaler Matrizen nicht notwendig rational sein.

Und leider sind die Eogenwerte reellwertiger Matrizen zu Meist nicht reell.

Man kann sie aber immer zu dem grundkörper K dazu ===> adjungieren.

Und jeder Körper K besitzt einen ===> algebraischen Abschluss (  AA  )  ; formelzeichen [ K ]

Macht Internet dumm; macht etwa Wiki dumm?

Schlag mal in wiki den Begriff ' AA  ' nach; als Student hatte ich gar keine Ahnung ( siehe die Tabelle in Wiki ) dass wir von den meisten Körpern den AA bereits kennen und dass der ganz elementar ist.

all dies sollt ihr aber nach Ansicht eures erlauchten Herrn Professors nicht wissen ...

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Die Aussage stimmt nicht, was godzilla erzählt ist schlicht und ergreifend falsch.

Ein Gegenbeispiel ist:

$$A=\begin{pmatrix} 0 &1\\ -1 &0 \end{pmatrix} $$ und $$B=\begin{pmatrix} 0 &2 \\1 &0 \end{pmatrix}$$ als Matrizen über den rationalen Zahlen.

Es ist $$\chi_A(t)=t^2+1$$ und $$\chi_B(t)=t^2-2$$ d.h. beide haben keine Eigenwerte in den rationalen Zahlen. Damit sind also die algebraischen, und geometrischen; Vielfachheiten aller rationalen zahlen für beide Matrizen 0 und damit gleich.

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Was ist Vielfachheit? Mal ein anderes Beispiel; die Primfaktorenzerlegung. Z.B. ist 20 = 2 ² * 5 ;  die höchste Potenz des Primfaktors 2 ist beispielsweise 2 ; die 2 geht quadratisch ein in die 20 .
    Jetzt hast du natürlich das Recht zu fragen; okay. Mit welcher Potenz geht denn der Primfaktor 3 ein? Null natürlioch; nur besteht eben die Konvention, einen Faktor " 3 ^ 0 "  nicht zu schreiben, weil Eins eine ==O=> Einheit ist; und so bald du Einheiten zulässt, ist die Primzerlegung nicht mehr eindeutig.
    Genau so bei einem Polynom. Es braucht übrigens gar nicht die Ausrede, das Polynom zerfalle nicht.
    Geh mal in eine Algebravorlesung; die Polynomringe ( über sämtlichen Körpern ) sind Hauptidealringe; hier hast du ähnliche Probleme wie bei der Primfaktorenzerlegung. Ich geh jetzt mal bewusst nach |C , damit auch ja sämtliche Polynome zerfallen.
    Jetzt frage ich; welche Vielfachheit hat die wurzel x0  =  3  in dem Polynom

  
      p  =  (  x  -  1  )  (  x  -  2  )      (  1  )


     Natürlich auch wieder Null; aber das bringt nix. Weil  zwei Polynome wollen wir schon als äquivalent betrachten, wenn sie sich in ihrem Leitkoeffizienten unterscheiden. Im ring der Polynome sind die Polynome nullten Grtades, die sog. " c-Zahlen "  , die Einheiten.