Hi, unser Prof gibt uns zum Ende eines Kapitels immer Fragen (bzw. wir sollen sagen, ob die Aussagen richtig oder falsch sind) zum überprüfen und ich habe ein paar Fragen zu denen ich keine wirkliche Idee habe:
1)Der Halbraum \( \mathbb{R}_{+}^{n}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: x_{n}>0\right\} \) ist offen, denn mit
\( P_{n}(x)=x_{n} \) gilt \( \mathbb{R}_{+}^{n}=P_{n}^{-1}((0, \infty)), \) und \( P_{n} \) ist eine stetige Projektion.
2)Das "Achsenkreuz" \( \left\{x \in \mathbb{R}^{n}: \prod \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0\right\} \) ist abgeschlossen, denn es ist \( \left\{x \in \mathbb{R}^{n}: \prod \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0\right\}=g^{-1}(\{0\}) \) für die stetige
Abbildung (Monom) \( g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow g(x):=\prod \limits_{i=1}^{n} x_{i} \)
3)Eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{m} \supset U \rightarrow \mathbb{R}^{n}, x \mapsto f(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right) \) ist
Hölderstetig zum Exponenten \( \alpha \in(0,1] \) genau dann, wenn dies für alle Komponentenfunktionen zutrifft. (Hierbei seien \( \mathbb{R}^{n} \) bzw. \( \mathbb{R}^{m} \) mit der euklidischen Norm ausgestattet.)
4)Sind \( \left(X, d_{X}\right),\left(Y, d_{Y}\right) \) metrische Räume, \( M \subset X \) und
\( f: M \rightarrow Y \) eine Funktion sowie \( x_{0} \in M \) ein isolierter Punkt von \( M, \) so ist \( f \) stetig in \( x_{0} \)
Wisst ihr vielleicht ein paar Antworten? Es würde mir auch schon helfen, einfach nur zu wissen, ob die Aussagen richtig oder falsch sind.
