Welche der Aussagen stimmen?

Question

Aufgabe:

Es sei die Funktionenfolge fn: (0,1) -> ℝ _n∈ℕ mit fn(x):= xⁿ für n∈ℕ und x ∈ (0,1).

Welche der Aussagen stimmen dann?

1) Die Funktionenfolge ist punktweise konvergent.

2) lim_n->∞ lim_x↑1 fn(x)=0

3) Die Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent.

Bitte um Erklärung dazu, ich verstehe diese Thematik leider nicht.

Comments

Was bedeutet denn "punktweise Konvergenz"?

Answer 1

Zu 3.

Gleichmäßige Konvergenz würde bedeuten, dass

$$||f_n||_{\infty} = \sup_{x\in (0,1)}|f_n(x)|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

Nun ist aber wegen Teil 2 der Aufgabe \(||f_n||_{\infty} = 1\) für alle \(n\in \mathbb N\).

Damit kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

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Aja genau. Vielen Dank für die Erklärung. LG

Answer 2

Hallo

"ich verstehe diese Thematik leider nicht" hilft wenig, du musst schon sagen, was du nicht verstehst, nachdem du die jeweiligen Definitionen nachgelesen hast.

zu a) kannst du etwa zeigen ob und wogegen fn(0,27) oder f(0,999) konvergiert dann allgemein für 0<x<1 ? dann hast du die punktweise Konvergenz und danach 2)

zu 3) du musst für Konvergenz ja ein No(ε)= finden so dass für alle n>No fn(x)-0<ε wenn du das unabhängig von der Stelle x findest konvergiert fn gleichmäßig , sonst nicht.

Gruß lul

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Ok ich habe jetzt rausgefunden, dass die Funktion punktweise konvergent ist, wegen dem Definitionsbereich (0,1).

Die zweite Aussage ist falsch, denn es würde 1 rauskommen.

Aber auf die dritte Aussage komme ich leider nicht, da ich nicht weiß, wie ich das No(ε) finden kann.

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Hallo

aber es ist dir schon klar dass die Konvergenz bei 0,99999 viel langsamer geht als bei 0,001?

wann ist denn fn(0,001)<1/1000 und wann f(0,9999) das kann man auch allgemeiner ausdrücken x^n<ε was bedeutet das für x?

und zu 2 für JEDES x<1 i konvergiert fn gegen 0 richtig ist dass fn(1)=1

lul