Beweis zur Spur einer Matrix

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe:

Für A=(a_ij)∈ M(n × n , K) ist die Spur von A definiert als tr(A)=\( \sum\limits_{i=n}^{n}{a_{ii}} \)

Sei A∈ M(n × n , K) mit tr(AM)=0 für alle M ∈ M(n × n , K). Zeigen Sie, dass A=0 ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich folgendes nicht verstehe:

wenn ich es auseinander schreibe:   tr(AM)= 0

                                                         tr(A)* tr(M) = 0 könnte doch auch genauso gut M gleich 0 sein und so müsste A demnach nicht auch zwangsläufig Null sein. Irgendwie ergibt die Aufgabe keinen Sinn für mich. Würde mich sehr über Hilfe freuen. :)

Answer 1

hier könnte man mit Kontraposition rangehen. Sei A ≠ 0, d.h. A hat mindestens einen nicht negativen a_kl mit k,l ∈ {1,...,n} .

Betrachte nun die Matrix M die nur den Eintrag m_lk besitzt, dieser Eintrag soll den Wert von a_kl besitzen (beachte hier die mit Absicht vertauschten Indizes l und k).

Multipliziert man nun A mit M so hat A*M an der stelle k,k den Wert (a_kl)² , alle anderen Einträge von A*M sind nach Konstruktion von M 0. Aus den Körperaxiomen (Nullteilerfreiheit in Körpern) folgt nun, dass der Eintrag nicht Null ist. Daher ist Trace(A*M) = (a_kl)² ≠ 0 , was den gewünschten Widerspruch liefert.

qed.

Hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen.

LG Simon

Comments

So habe ich es super verstanden. :D