Noch 2 Fragen zur Primfaktorzerlegung und Teileranzahl

Question

1) Welche natürlichen Zahlen mit genau 49 Teilern haben 7 als größten Primfaktor?
2) Gibt es eine Zahl mit a) genau 50 b) genau 60 Teilernund genau vier unterschiedlichen Primteilern?Begründen Sie ihre Antwort.
Stehe schon wieder direkt auf dem Schlauch :/ Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

Teileranzahl d(n) ist bei primfaktorzerlegung  n= p1^a1 *p2^a2 * ... pn ^an

d(n) = (a1+1)*(a2+1)*...*(an+1)

d(n)=49 = 7*7 = (6+1)*(6+1)

kann also n nur zwei Primfaktoren jeweils hoch 6 haben.

n= 2^6*3^6

oder

n=2^6*5^6

oder

n= 2^6*7^6

oder

n=3^6*7^6

oder

n= 5^6*7^6

Gibt es eine Zahl mit a) genau 50 b) genau 60 Teilern und genau vier unterschiedlichen Primteilern?  Begründen Sie ihre Antwort.

vier primzahlen haben je die hochzahlen a,b,c,d

dann  soll (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1) = 50 sein , weil es 50 Teiler geben soll.

Jede Klammer muss mindestens 2 sein, aber

50 = 2*5*5 also keine 4 Faktoren ≥ 2 möglich. Geht also nicht.

l (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1) = 60 = 2*2*3*5

also geht es, etwa  n= 2^5 * 3^3 * 5 * 7  = 30240 hat 60 Teiler.

nämlich  1 und 30240

2 und 15120

3und  10080

etc. Viel Spaß !

Comments

Die Lösung zu Teilaufgabe 1 scheint mir unvollständig, da auch 48+1=49, d.h., alle Zahlen der Form p^48 haben genau 49 Teiler, wobei p prim sei (und nach Aufgabenstellung p<=7).