Taylor-Polynom: Nenner bei Ableitung ist 0?!

Question

ich soll ein Taylorpolynom eines bestimmten Grades mit Entwicklungspunkt x0 = 1 aufstellen.

Ich habe die Ableitungen gebildet und den Entwicklungspunkt eingesetzt.

Das Problem ist jetzt, dass die Ableitungen z.B. die Form 1/(1-x)² haben, wodurch dann eine 0 im Nenner stehen würde.

Kann mir jemand sagen was das nun bedeutet bzw. wie ich vorgehen muss?

Existiert kein Taylor-Polynom?

Comments

Wie lautet denn die Funktion, zu der du das Taylorpolynom aufstellen sollst ?

f(x) = LN(1 - x)

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Die Funktion lautet f(x) = arctan(x)

Answer 1

Nun, da musst du irgendeinen Fehler gemacht haben.

Hier die Taylorpolynom-Entwicklung 2. Grades von f ( x ) = arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1

(Hinweis: Ich verwende gewohnheitsgemäß a statt x0 als Bezeichner des Entwicklungspunktes.)

Zunächst die ersten beiden Ableitungen:

f ( x ) = arctan ( x )

=>

f ' ( x ) = 1 / ( x ² + 1 )

f ' ' ( x ) = - 2 x / ( x ² + 1 ) ²

Und daraus ergibt sich für das Taylorpolynom 2. Grades:

T₂ arctan ( x ; a )

= arctan ( a ) + ( arctan ' ( a ) / 1 ! ) * ( x - a ) + ( arctan ' ' ( a ) / 2 ! )  * ( x - a ) ²

= arctan ( a ) + ( ( 1 / ( a ² + 1 ) ) / 1 ! ) * ( x - a ) + ( ( - 2 a / ( a ² + 1 ) ² ) / 2 ! )  * ( x - a ) ²

Setzt man hierin a =1 so ergibt sich als Taylorpolynom 2. Grades von arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1  

T₂ arctan ( x ; 1 )

= arctan ( 1 ) + ( ( 1 / ( 1 ² + 1 ) ) / 1 ! ) * ( x - 1 ) + ( ( - 2 * 1 / ( 1 ² + 1 ) ² ) / 2 ! )  * ( x - 1 ) ²

= π / 4 + ( 1 / 2 ) * ( x - 1 ) - ( 1 / 4 ) * ( x - 1 ) ²

= π / 4 + ( x - 1 ) / 2  -  ( x - 1 ) ² / 4 

als Taylorpolynom 2. Grades von arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1

Comments

Vielen vielen Dank! Ich habe bei der Ableitung von arctan(x) ausversehen ein Minus im Nenner statt einem Plus genommen!