Nun, da musst du irgendeinen Fehler gemacht haben.
Hier die Taylorpolynom-Entwicklung 2. Grades von f ( x ) = arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1
(Hinweis: Ich verwende gewohnheitsgemäß a statt x0 als Bezeichner des Entwicklungspunktes.)
Zunächst die ersten beiden Ableitungen:
f ( x ) = arctan ( x )
=>
f ' ( x ) = 1 / ( x ² + 1 )
f ' ' ( x ) = - 2 x / ( x ² + 1 ) ²
Und daraus ergibt sich für das Taylorpolynom 2. Grades:
T2 arctan ( x ; a )
= arctan ( a ) + ( arctan ' ( a ) / 1 ! ) * ( x - a ) + ( arctan ' ' ( a ) / 2 ! ) * ( x - a ) ²
= arctan ( a ) + ( ( 1 / ( a ² + 1 ) ) / 1 ! ) * ( x - a ) + ( ( - 2 a / ( a ² + 1 ) ² ) / 2 ! ) * ( x - a ) ²
Setzt man hierin a =1 so ergibt sich als Taylorpolynom 2. Grades von arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1
T2 arctan ( x ; 1 )
= arctan ( 1 ) + ( ( 1 / ( 1 ² + 1 ) ) / 1 ! ) * ( x - 1 ) + ( ( - 2 * 1 / ( 1 ² + 1 ) ² ) / 2 ! ) * ( x - 1 ) ²
= π / 4 + ( 1 / 2 ) * ( x - 1 ) - ( 1 / 4 ) * ( x - 1 ) ²
= π / 4 + ( x - 1 ) / 2 - ( x - 1 ) ² / 4
als Taylorpolynom 2. Grades von arctan ( x ) am Entwicklungspunkt a = 1