Wie berechnet man den stochastischen Eigenvektor?

Question

ich habe eine stochastische 4x4-Matrix A. Nun will ich den zugehörigen stochastischen Eigenvektor berechnen. (Summe der Einträge des Vektors ist 1). Nach diesem Schema geht man ja vor. Sol(A-E_4,0).

Nur erhalte ich einen Vektor welcher nicht stochastisch ist.

Wie genau geht man bei der Berechnung des stochastischen Eigenvektors vor? Bis jetzt habe ich die Matrix auf die reduzierte Zeilenstufenform gebracht und dann den Vektor abgelesen.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

Comments

Du kriegst irgendeinen Vektor \(v=(v_1,\dots v_n)\). Dann ist der Vektor \(v' = \frac{v}{\| v \|_1}\) bezüglich der 1-Norm normiert, d.h. \(|v'_1| + \dots + |v'_n| = 1\)

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Danke für die schnelle Antwort.

Was bedeutet der Nenner in dem Bruch genau?

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Für einen Vektor \(x=(x_1,\dots x_n)\) definiert man die sogenannte p-Norm durch

$$ \| x \|_p = \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^\frac{1}{p} $$

und für \(p=1\) kriegt man

$$ \| x \|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k| $$

d.h. einfach die Summe der Beträge der Komponenten des Vektors.

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Hättest du eventuell ein Beispiel parat, um die Berechnung zu verdeutlichen?

Ich teile also den Vektor durch die Summe seiner Einträge? Oder jeden Eintrag des Vektors durch die Summe seiner Einträge?

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Du hast zb den Vektor (5,  4, 3) ^T

5+4+3=12

Multipliziere nun den Vektor mit 1/12.

Answer 1

Du hast doch vermutlich ein Zeile mit lauter 0en, also

eine Komponente des Vektors frei wählbar. Wähle die so, dass

Summe der Komponenten = 1 ist.

Fertig.