Eine stilistische Anmerkung; ihr könnt doch Deutsch sprechen ( " Hochpunkt " statt " Maximum " ) Ich auch; statt Partial-sage ich Teilbruchzerlegung ( TZ )
Polynomdivision ( PD ) und TZ sind wie zwei Brüder; jeder hat sein eigenes Reich. Und zwar kommt TZ immer dann zum Einsatz, wenn Zählergrad < Nennergrad ; PD somst.
Da gibt es auch etliche Kalamitäten zu bedenken; PD ist selbst erklärend. ich war früher bei dem Konkurrwenzportal " Cosmic " ; du die Rückmeldung war da einfach besser. Ich hab da viel näher am Schüler gearbeitet als hier. Und so bekam ich recht schnell mit: PD kann im Prinzip jeder. Na hab ich mich sogar echt drüber gefreut. Trotzdem hielt ich mit meiner Freude doch etwas an mich; denn verführt durch die Lehrer, setzten die Schüler diese PD für die unmöglichsten zwecke ein, wo du sie überhaupt nicht benötigst. Und wenn du sie wirklich mal brauchst, dann kam keiner drauf, Achtung jetzt ist es wirklich wichtig.
TZ ist nämlich sone Sache; das Kochrezept, wie es geht, kannst du jedem Realschüler erklären. Das ist sogar noch bedeutend einfacher als die Mitternachtsformel; wirst sehen. Aber das befriedigt ihn nicht; damit hat der noch lange nix verstanden.
Einleitung; von der Unbestechlichkeit der TZ . Angeblich kannst du mit einer Gleichung machen, was du willst, so lange du es nur auf beiden Seiten machst - wirklich?
x - 1 = 0 ===> x = 1 | * ( x - 2 ) ( 1a )
( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0 ===> x = 1 v x = 2 ( 1b )
Das Multiplizieren einer Gleichung mit einem Polynom ist keine ===> Äquivalenzumformung .
Das Multiplizieren einer Bruchgleichung mit ihrem Hauptnenner IST KEINE ÄQUIVALENZUMFORMUNG .
Was ist denn das überhaupt; der Hauptnenner? In Kl. 9 tut man doch als so Gleichungen rechnen
a / ( x - 1 ) + b / ( x - 2 ) ( x - 3 ) = c / ( x - 2 ) + d / ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( 2a )
wobei a , b , c , d bekannte konkrete Zahlen sein mögen . Hauptnenner ist ( angeblich )
( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( 2b )
Ich nehm jetzt mal zukünftioges Wissen vorweg; angenommen du beherrschst bereits TZ und führst in ( 2a ) erst mal diese Zerlegung durch, statt Geist los drauf los zu multiplizieren ( wovor ich im Übrigen stets gewarnt habe ) Weiters wollen wir uns vorstellen, dass die TZ ergibt
a / ( x - 1 ) + B / ( x - 2 ) + C ( x - 3 ) = c / ( x - 2 ) + D / ( x - 1 ) + C / ( x - 3 ) ( 2c )
D.h. in ( 2c ) möge der Koeffizient C links und rechts zufällig gleich raus kommen - der Pol bei x = 3 KÜRZT SICH WEG . Damit ist aber ( 2b ) der falsche Hauprtnenner; würdest du ( 2a ) mit ( 2b ) multiplizieren und nach x umstellen, würde Folgendes passieren:
1) Du findest, dass x = 3 eine Lösung ist ( Biste selbst dran schuld )
2) Machst du die Probe, indem du in ( 2a ) einsetzt x = 3 , geht die Probe nicht auf.
Wie geht TZ ? ===> Apollonios zu Alex
" Majestät; es gibt keinen Königsweg zur Mathematik. "
===> Winston Churchill
" Ich habe nichts zu bieten als Blut, Schweiß und Tränen. "
Oder wenn dir das besser gefallen sollte
" Vor den Preis haben die götter den Schweiß gesetzt. "
TZ ist eine endliche Reihenentwicklung nach der höchsten Ordnung der Polstellen im Nenner. Du hast nur einen Pol x1;2 = 1 , und damit kommt in deiner Reihe ein linearer Term A / ( x - 1 ) so wie ein quadratischer B / ( x - 1 ) ²
" Das ist das Format der Reihe; das macht man halt so. "
Viel wichtiger ist ein
Existenz-und Eindeutigkeitssatz der TZ
Dieser besagt, dass wenn du das so machst, du für die Entwicklungskoeffizienten ein LGS bekommst, dessen Lösung existiert und eindeutig ist ( und die Reihe stellt natürlich die geforderte Funktion dar. )
Meiner unmaßgeblichen Erfahrung nach geht die Eindeutigkeit den Bach runter, wenn du eigenmächtig irgendwelche Reihenglieder unterdrückst.
Der Beweis erschien mir der Art schwer, dass ich die ganze Vorlesung ( beim Kulze , übrigens ein sehr begabter Mann ) gepennt habe.
Er war Perfektionist; z.B. begann eine jede seiner Vorlesungen stereotyp mit dem Mantra
" Meine Damen und Herren; wir haben uns das letzte Mal mit ... beschäftigt. "
Woraufhin er die Kreide durchbrach, dass sie ihm nicht abbricht ...
Donnerstags hatten wir zwei Stunden beim Kulze. Da erbat ER sich von den Hörern fünf Minuten Pause.
Wir sollten die Peinlichkeit nicht mit bekommen, dass er die Tafel wischen musste, weil die bloß für eine Stunde Platz bot ... Ich sprach ihn direkt nach der Vorlesung darauf an.
" Ach nein; Sie irren sich bestimmt ... "
Jetzt leidet die Analysis an einem Betriebsunfall. Es herrscht allgemein die Ansicht vor, du müsstest das Rad immer wieder neu erfinden, sprich: dieses hochgradig gekoppelte LGS immer wieder neu lösen. Das steht so in allen Lehrbüchern - bis auf eine erfreuliche Ausnahme. Bei Wolfram und Arndt Brünner werden diese Matrixungetüme auch online per KI unterstützt.
( Es war ein Lacher in der ganzen Abteilung, als mein Kollege witzelte:
" Intelligenz ist immer natürlich, nie künstlich. " )
Folge mal meinem Gedankengang. Da die Eindeutigkeit der TZ ja nicht mehr strittig ist, ist jedes noch so schmutzige Trickverfahren zulässig, dieser Koeffizienten habhaft zu werden. In deinem Fall gibt es eine Substitution quasi als faule Ausrede.
( x + 5 ) / ( x - 1 ) ² = A / ( x - 1 ) + B ( x - 1 ) ² ( 3a )
z := x - 1 ( 3b )
x = z + 1 ( 3c )
( x + 5 ) / ( x - 1 ) ² = ( z + 6 ) / z ² = 1 / z + 6 / z ² ( 3d )
Koeffizientenvergleich ( 3a;d )
A = 1 ; B = 6 ( 3e )
Nein; für Schüler wurde TZ erst erschwinglich mit dem Erscheinen des Rothstein-Trager-Formalismusd bzw. " Zuhälterverfahrens " , wie es ein User so schön nennt ...
Die Rothstein-Trager-Arbeit steht online; ich muss ehrlich bekennen: nicht einmal die Motivation ist mir klar.
Lediglich das Schlusskapitel verstand ich ohne Mühe, weil ich ( leider mit zehnjähriger Verspätung ) diesen Residuenformalismus unabhängig gefunden hatte. Dabei sind meine Ergebnisse auch viel allgemeiner als Rothstein-Trager ( oder " Zuhälter " , was das Selbe ist )
Normale Menschen lernen TZ nicht vor dem Aufleiten kennen, obwohl wir ja in ( 2a-c ) einsehen mussten, dass du ihrer bereits lange vorher bedarfst. Es wäre daher entscheidend wichtig, dass du bereits ab-bzw. aufleiten kannst; denn ich werde hier das schwierigste Kapitel referieren, welches die ===> Funktionenteorie ( FT ) zu bieten hat: die ===> Residuen ( Da gibt es sehr gute Lehrbücher; McLaughlin bei Wiley; die Knoppbändchen oder Eli Cartan. Auch Wiki ist keines Wegs zu verachten. )
