Deine gewählte Grenze ist richtig!!
Eine andere Möglichkeit ist die folgende:
$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \left( x^2+y^2 \right) dydx=\int_{0}^{1} \left( \left [x^2y+\frac{y^3}{3}\right ]_{y=0}^{x} \right)dx=\int_{0}^{1} \left( x^3+\frac{x^3}{3}\right) dx \\ =\int_{0}^{1} \frac{4x^3}{3} dx =\left [ \frac{x^4}{3} \right ]_{0}^{1}=\frac{1}{3}$$
