Skalarprodukt für Polynome

Question

Ich suche ein Skalarprodukt, so dass die Polynome 1, t, t^2/2!, ..., t^n/n! eine Orthonormalbasis im R-Vektorraum der Polynome vom Grad <=n (n>=1) bilden.

Answer 1

für p = a_o + a₁*t + a₂*t^2 + .... + a_n * t^n und  q = b_o + b₁*t + b₂*t^2 + .... + b_n * t^n definiere

das Skalarprod.  p*q  oder <p,q> = summe i = 0 bis n   a_i*b_i*(i!)^2

das ist bilinear ( beweist du etwa so  <p+r,q> =

summe i = 0 bis n   (a_i + c_i )*b_i*(i!)^2= ...  auf zwei Summen aufteilen ....

= <p,q> + <r,q> 

ebenso für < c*p,q> = c* <p,q>

symmetrisch und pos. definit alles kein Problem, weil ja immer nur die Faktoren (i!)^2

dazu kommen .

Dann noch zeigen, dass die gegebenen Polynome orthogonal sind, das ist klar

weil dann in der Summe lauter 0en stehen und jedes hat mit sich selbst Skalarprod. 1

eben durch die Faktoren (i!)^2, die kürzen sich dann weg.