Ähnlichkeit von zwei Matrizen

Question

ich habe zwei Matrizen gegeben und ich soll untersuchen, ob diese ähnlich sind.

Ich habe schon alle Bedingungen überprüft: Determinante gleich, Rang gleich, Spur gleich, diagonalisierbar, charakteristisches Polynom gleich.

Nun habe ich die einzelnen Eigenvektoren berechnet. Jeder Eigenwert besitzt jeweils einen Eigenvektor.

Das Problem ist, dass ich nicht auf S aus B=S^-1*A*S komme.

Minimalpolynom und JNF hatten wir noch nicht in der Vorlesung.

Wie komme ich auf das S aus der Formel?

Answer 1

aus deinen bisherigen Ergebnissen kannst du ja leicht einsehen, dass beide Matrizen ähnlich zur selben Diagonalmatrix \(D\) sind. Das bedeutet konkret:

Es gibt reguläre Matrizen \(P,R\), so dass:

$$ D = P^{-1}AP $$

$$ D = R^{-1}BR $$

Damit kannst du jetzt die gesuchte Matrix \(S\) finden, so dass \( B = S^{-1}AS\) gilt.

Gruß

Answer 2

Gib doch mal die Matrizen an.

Allgemein kann man nur sagen, wenn du Diagonalisieren kannst

und beide ergeben die gleiche Diagonalmatrix D, dann hast du es doch

S-^* A * S = D   und T-1 * B * T = D

also    S ^-1* A * S = T^-1 * B * T

T*S ^-1 * A * S * T ^-1 = B

und (   T*S ^-1 ) ^-1  =  S * T ^-1   das ist dann  die Transformationsmatrix.

Comments

muss ich dann also das LGS lösen? Denn S und T habe ich ja nicht.

Und die Diagonalmatrix ist ja einfach die Eigenwerte in die Hauptdiagonale schreiben. Da beide die selben Eigenwerte haben, haben sie dann wohl auch die selbe Diagonalmatrix. Wie komme ich denn bei

S^-1*A*S=D und T^-1*B*T=D auf T und S?

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Die Matrizen lauten:

6     1      -6

A=  -14  -3     12

2     1      -2

9    1    11

B= 5    -1    5

-5 -  1    -7