Integration von tan²/cos²

Question

Hey
Ich wollte fragen wie ich tan²/cos² integrieren kann,
da man hier keine normale sub anwenden kann bin ich etwas
verwirrt

danki

Answer 1

Ich vermute, "sub" soll "Substitution" bedeuten?

Warum sollte man keine "normale" Substitution anwenden können (was auch immer "normal" bedeutet...)?
Du kannst $u=\tan(x)$ substituieren.

Answer 2

Ich nehme mal an, du möchtest das Integral

$$I = \int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \text{ d}x$$

ausrechnen. Beachte, dass tan(x) = sin(x)/cos(x) und 1 = sin²(x)+cos²(x). Damit erhält man nach der Subsitution u = tan(x) mit du/dx =  1/cos²(x) bzw. du = dx/cos²(x)

$$I = \int u^2 du \\ = u^3/3 + C$$

Nach Resubstitutieren findet man insgesamt

$$\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \text{ d}x = \frac{\tan^3(x)}{3} + C$$