Gibt es einen Kurvenvektor?

Question

Damit ist ja schon einiges vorweggenommen...

Die Frage hat mich beschäftigt, da es ja auch Bewegungen gibt, die nicht entlang einer Linie sind und somit schwerer in einem KOS darzustellen sind.

Also, gibt es daher "Kurvenvektoren" oder wird eine solche Bewegung durch mehrere Vektoren beschrieben?

Comments

Du meinst eine Art "krummer Vektor"?

Eine Kurve kann sich parametrisieren lassen vielleicht meinst du das ja:

https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterdarstellung

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Parametrisieren, wenn man solche Bewegungen wie unten in den Kommentaren beschreiben darstellen möchte?

Answer 1

Wie schon von Yakyu erwähnt, beschreibt man Kurven durch sogenannte Parameterdarstellungen.

Beachte, dass du Kurven nicht immer durch Funktionen beschreiben kannst, weil sie nicht im Bildraum nicht eindeutig sein müssen: du kannst durchaus mehrmals am selben Punkt vorbeikommen.

Beschreibt man z.B. eine Kurve im ℝ², das heißt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, dann mag die Parametrisierung folgendermaßen aussehen:

$$K = \left\{\vec{r}(\lambda) = \begin{pmatrix}x(\lambda) \\ y(\lambda) \end{pmatrix}|\lambda \in [\lambda_1, \lambda_2]\right\},$$

wobei x und y beliebige Funktionen des Parameters λ sind. Man sagt: Die Kurve K ist die Menge aller Punkte r parametrisiert durch λ im Intervall von λ₁ bis λ₂.
Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ist trivial.

Einen Einheits-Kreis in zwei Dimensionen könnte man z.B. parametrisieren durch

$$\vec{r}(\phi) = \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix},$$

für φ∈[0,2π] denn der Einheits-Kreis ist definiert durch $$x^2 + y^2 = 1.$$

Answer 2

Oder meinst du das ?

Wenn sich ein Punkt z.B. längs einer Parabel bewegt, gibt es in jedem Punkt der Kurve einen

Vektor, der die Geschwindigkeit darstellt. Der hat nur in jedem Punkt eine andere Richtung,

nämlich die Richtung der Tangente an die Parabel. z.B. so :

Comments

Zunächst vielen Dank für beide Antworten!

Was ich meinte ist z.B.wenn man eine Bewegung eines Teilchens oder z.B. einer Person beschreibt und diese sich in solch einer Bahn bewegt. Man bräuchte eine Funktionsgleichung, um diese Bahn darzustellen, wobei das Parametrisieren wohl dazu eher passt?

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Ein Vektor ist durch einen Betrag und durch eine Richtung gekennzeichnet.

Wenn ich vom Ausgangspunkt zum Endpunkt keine gerade Linie ziehen kann, liegt kein Vektor vor. Man könnte sich überlegen, ob man Teilbereiche "vektormäßig aufteilen" kann. Das geht nur, wenn diese Teilbereiche Geraden sind.

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Bei deinem letzten Beispiel ging es dir ja um die Gleichung der Bahn.

Das kann natürlich manchmal eine Funktionsgleichung sein (z.B. bei

einer Parabelförmigen Bahn etwa f(x) = X^2 ), ansonsten

hilft Parametrisierung weiter.