Grenzwert bestimmen für x gegen plus unendlich Wurzel( 9x^2+24x+5)-3x

Question

lim(x gegen +unendlich) Wurzel( 9x^2+24x+5)-3x

muss ich hier subtititionieren?

ich weiss es muss 4 rauskommen komme, aber auf den rechenweg nicht drauf.

danke

Answer 1

√(9·x^2 + 24·x + 5) - 3·x

= (√(9·x^2 + 24·x + 5) - 3·x) * (√(9·x^2 + 24·x + 5) + 3·x) / (√(9·x^2 + 24·x + 5) + 3·x)

= (24·x + 5) / (√(9·x^2 + 24·x + 5) + 3·x)

= (24 + 5/x) / (√(9 + 24/x + 5/x^2) + 3)

Für x --> ∞ ergibt sich dann

= 24 / 6 = 4

Comments

den zweiten schritt verstehe ich nicht.

wieso noch einmal teilen ?

(√(9·x² + 24·x + 5) - 3·x) * (√(9·x² + 24·x + 5) + 3·x) / (√(9·x² + 24·x + 5) + 3·x)

warum teilst du nochmal?

macht man das bei solchen aufgaben immer so?

danke

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Weil es heißt ja nun mal Erweitern und was heißt erweitern ?

Erweitere mal a mit b

a = a / 1 = a*b / (1*b) = a*b / b

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Yo hast ja voll kommenrecht ;)

Passiert beim fasten manchmal ;)

Answer 2

Erweitere mit \(\sqrt{9x^2+24x+5}+3x\).

Comments

ich komme dann auf

24x+5

oder hab ich mich irgwie verrrechnet?

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Erweitern und nicht nur multiplizieren.

Answer 3

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \sqrt { 9{ x }^{ 2 }+24x+5 } -3x } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { 1+\cfrac { 8 }{ 3x } +\cfrac { 5 }{ 9{ x }^{ 2 } }  } -1 }{ \cfrac { 1 }{ 3x }  }  } =\lim _{ z\rightarrow 0 }{  \frac { \sqrt { 1+8z+5{ z }^{ 2 } } -1 }{ z } } $$

Regel von L’Hospital anwenden liefert:

$$ \lim _{ z\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1+8z+5{ z }^{ 2 } } -1 }{ z }  } =\lim _{ z\rightarrow 0 }{ \frac { d }{ dz }  } \sqrt { 1+8z+5{ z }^{ 2 } } =\lim _{ z\rightarrow 0 }{ \frac { 8+10z }{ 2\sqrt { 1+8z+5{ z }^{ 2 } }  }  } =4 $$

Answer 4

Hier die Rechenschritte