Gegen was konvergiert diese Summe Σ( (-1)^n/n! )?

Question

Σ 

Ich denke zwar gegen 0 aber der rechenweg fehlt mir. Dabke im Voraus.

Answer 1

Dei Reihe konvergiert gegen 1/e.

Tipps:

Kennst du die Geometrische Reihe von e^x ?

Wenn nicht kannst du das Taylorpolynom von e^x aufstellen für die ersten 3 oder 4 Glieder ?

Comments

die taylorpolynom kann ich machen. ich schreib es mal gleich hin

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f(x)=1+x+1/2x^{2}+1/6x^{3}
soweit korrekt

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kannst  du mir bitte, die aufgaben mit dem zwischenschritt zeigen?

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Genau

T(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... + x^n/n!

Also unten das n! sieht doch schon Verdächig aus. Und was passiert wenn man für x jetzt -1 einsetzt ?

Dann hast du genau deine Reihe. Also ist das die Reihendarstellung von e^{-1}.

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Mir ist aber nicht ganz klar earum es hoch minus eins ist?

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Die Reihendarstellung von

f(x) = e^x

ist

T(x) = ∑ (n = 0 bis ∞) x^n / n!

Damit ist

T(-1) = ∑ (n = 0 bis ∞) (-1)^n / n!

Letzteres ist jetzt aber ja genau deine Reihe. Daher weißt du dass es auch f(-1) = e^{-1} ist.

Answer 2

x^n / n!  ------> Quotientenkriterium →  an +1   / an !

===>  x^n+1  /  (n+1)!    //   x^n  / n! =  IxI *  n!  / ( n+1)! =  IxI /  n+1  ----> 0 < 1 für n --> ∞  !

Comments

===>  xⁿ+1  /  (n+1)!    //   xⁿ  / n! =  IxI *  n!  / ( n+1)! =  IxI /  n+1  ----> 0 < 1 für n --> ∞  !

das erste soll ja das kriterium sein oder?

dann das zweite umgewandelt?

und bei der letzten verstehe ich leider nicht mehr so richtig.,

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kannst  du mir bitte, die aufgaben mit dem zwischenschritt zeigen?

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mathe49: Du zeigst hier mit dem Quotientenkriterium, dass die Reihe konvergiert aber nicht, was der Grenzwert ist.

immai: Fakultäten und Potenzen kann man kürzen. Es sollte x^{n+1} heissen. Zudem musst du die Klammerung ergänzen.

Answer 3

Am einfachsten ist es, wenn ihr die Exponentialfunktion als Potenzreihe definiert habt wie die erste Alternative in der Wikipedia.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

Dann kannst du sofort hinschreiben

Σ  ((-1)^n/n!) = e^{-1} = 1/e

Wenn das nicht so definiert wurde, sollte die Tatsache

Σ  ((x)^n/n!) = e^x      (n von 0 bis unendlich)

irgendwann bewiesen worden sein. 

Wenn immer du nun Fakultäten im Nenner siehst, erinnerst du dich an die Exponentialfunktion.