Beweise, von 2 Dingen bezüglich Matrix und Vektor

Question

Ich habe folgendes Problem:


Ich hab für die Aufgaben, wobei die zweitere eine Unteraufgabe von der ersten ist, was für mich aber wenig Sinn macht, keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Bei ersterem hätte ich einen Ansatz nur weiß ich nicht ganz so wirklich ob der so stimmt.

Bei dem zweiten Teil sieht es da schon düsterer aus. Da steh ich komplett im Dunkeln und es wäre toll, falls jemand eine Problemlösung dafür hätte bzw. einen Ansatz :)

Ich bedanke mich schonmal herzlich für eine Antwort und werde mich für eine Antwort auch revanchieren.

Liebe Grüße

Comments

Zum Ersten: Du hast bereits Ansätze. Es wäre super,wenn du diese mit uns teilen würdest.

Zum Zweiten:

Kurze Überlegungen von mir:

Habt ihr schon die Eigenschaft, dass orthogonale Abbildungen das Skalarprodukt enthalten?

Also:

< f(v), f(w) > = <v,w>

Wobei dies die jeweiligen Skalarprodukte in den dazugehörigen Räumen beschreibt.

Also theoretisch , wenn das Skalarprodukt von <v,w> vorher = 0 war, also die Vektoren orthogonal aufeinander liegen, dann ist das auch nach der Abbilung so. Wäre damit die Aussage schon gezeigt?

Angaben ohne Gewähr.

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Ja, der erste Ansatz hat sich bereits verflogen, weil ich einen Denkfehler drin hatte. Ich habe gedacht die Einheitsmatrix bezüglich dieser 2 Basen wäre tatsächlich DIE Einheitsmatrix, aber da habe ich mich getäuscht. Da hab ich bis jetzt keinen weiteren Ansatz.

Zum zweiten:

Nein, das haben wir noch nicht. Richtig, wenn das so wäre, dann gilt das auch nach der Abbildung, weil ja eben diese Beziehung mit W bei beiden vorhanden ist.

Aber diesen Satz haben wir leider nicht gemacht.

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Falls jemand am Abend trotzdem noch eine Idee hat wäre es toll sie zu wissen :)

Answer 1

Bei der ersten würde ich erst mal die Matrix X des Basiswechsels von der  Standardbasis E

zu B betrachten. Die hat in der i-ten Spalte  die Komponenten des i-ten Basisvektors von B.

Weil B eine Orthonormalbasis ist, ist also das Produkt zweier Spalten immer 1 oder 0.

Wenn ich also X transponiere, werden ja die Spalten zu den Zeilen und damit habe ich beim
Produkt aus  X^T * X die Einheitsmatrix, X ist also orthogonal. Und es ist    X^T  die Matrix des Basiswechsels
von B zu E. 
Ebenso bei der anderen Basis B ' gibt es die entsprechenden Basiswechselmatrizen Y und Y^T  .

Dann ist die Matrix von id bzgl. der Basen B und B ' das Produkt
Z  =  Y * I * X^T 
denn ich mache erst den Basiswechsel von B zu E, dann die Matrix von id bzgl E, das ist die
Einheitsmatrix I und dann den Basiswechsel von E zu B ' .

Um nun zu zeigen, dass Z orthogonal ist, muss ich ja nur prüfen, ob Z^T * Z = I gilt.
Dem ist so, denn
( Y * I * X^T  )^T * I * ( Y * I * X^T  )
= X^TT *I^T * Y^T * I * Y * I * X^T
= X * Y^T  * Y  * X^T
= I   weil X und Y beide orthogonal sind.