Ausgleichsfunktion: Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Question

Es seien \( x, y \in \mathbb{R}^{5 \times 1} \) gegeben durch
$$ x=\left(\begin{array}{c} {-\pi} \\ {-\frac{\pi}{2}} \\ {0} \\ {\frac{\pi}{2}} \\ {\pi} \end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c} {-5} \\ {0} \\ {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie \( (a, b) \) in \( \mathbb{R} \) so, dass
$$ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \xi \mapsto a \sin (\xi)+b \cos (\xi) $$
die Ausgleichsfunktion zu \( (x, y) \) in \( \langle\sin , \cos \rangle \) ist.

Wie sehen die Werte für a und b aus? Angeblich sollen a und b ganze Zahlen aber ich komme nicht auf solche  werte.

Answer 1

Hi,
Du hast folgendes Problem, zu minimieren ist die folgende quadratische Summe
$$ F(a,b) = \sum_{i=1}^5 (f(x_i;a,b) - y_i)^2 $$
D.h. Du  must jetzt die Werte \( x_i \) und \( y_i \) einsetzten und die Summe ausrechnen. Da einfache Werte für \( x_i \) vorgegeben sind, ist der \( \sin(x_i) \) entweder \( 0 \) oder \( \pm1 \). das gleiche gilt für \( \cos(x_i) \)
Als Ergebnis erhältst
$$ F(a,b) = 2a^2 - 4a +3b^2 -18b +39  $$
\( a \) und \( b \) werden aus \( \frac{\partial F(a,b)}{\partial a} = \frac{\partial F(a,b)}{\partial b} = 0 \) bestimmt. Das Ergbnis ist
$$ a = 1 $$ und $$ b = 3 $$

Comments

Und so siehst aus.