Aufgabe:
$$ Q S_{\epsilon}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} \epsilon^{2} \longrightarrow \min $$
$$ \hat{e}^{T} \hat{e}=(y-\hat{y})^{T}(y-\hat{y})=(y-X \hat{\beta})^{T}(y-X \hat{\beta}) \quad \longrightarrow \min $$
$$ (y-X \hat{\beta})^{T}(y-X \hat{\beta}) $$
$$ \begin{array}{c}{\frac{\delta\left(y^{T} y-2 \hat{\beta}^{T} X^{T} y+\hat{\beta}^{T} X^{T} X \hat{\beta}\right)}{\delta \hat{\beta}}=-2 X^{T} y+2 X^{T} X \hat{\beta} \stackrel{ !}{=} 0} \\ {X^{T} X \hat{\beta}=X^{T} y}\end{array} $$
Problem:
ich beschäftige mich mit dem Thema der multiplen linearen Regression und hätte gerne gewusst, wie man die Matrixformel für die Bestimmung der Regressionskoeffizienten Beta bestimmt. Dies wird ja bekanntlich durch die Methode der Fehlerquadrate erklärt. Zu Beginn hat man ja, wie in der ersten Zeile zu erkennen, die Differenz der vorhergesagten Werte un der beobachtetetn Werte. Damit diese sich nicht gegenseitig aufheben, quadrieren wir diese. Für den ersten Ausdruck kann man ja auch e hoch 2 schreiben. Doch die nächsten Schritte verstehe ich nicht. Ich weiß nicht wie man plätzlich auf das e Dach mit T kommt und was danach gemacht wird.Die vorletzte Zeile soll die Phase vor der partiellen Ableitung darstellen. Warum? Wieso muss man da ableiten? Ziel ist es zu der Formel gnaz unten zukommen. Über eine Rückmeldung wprde ich mich sehr freuen, da dieses Thema sehr komplex ist.
Vielen Dank im Voraus!
