Totales Differential Vorgehensweise

Question

Hallo liebe Leute,

ich beschäftige mich jetzt gerade mit dem totalen Differential und folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie das vollständige Differential und berechnen Sie die Funktion:

Zunächst habe ich also die partiellen Ableitungen gebildet:

$${ f }_{ x }={ x }^{ 3 }+x{ y }^{ 2 }-x\longrightarrow { f }_{ xy }=2x{ y }\\ { f }_{ y }={ x }^{ 2 }y+{ y }^{ 3 }+y\longrightarrow { f }_{ yx }=2x{ y }$$

Da f_xy=f_yx =>Totales Differential

Nun zum Berechnen der Funktion:

$${ f }_{ x }=g(x,y)\\ { f }_{ y }=h(x,y)\\ \\ f(x,y)=\int { g(x,y)dx+{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y) } =\int { ({ { x }^{ 3 }+x{ y }^{ 2 }-x })dx+{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y) } =\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)\\ f(x,y)=\int { h(x,y)dx+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x) } =\int { ({ x }^{ 2 }y+{ y }^{ 3 }+y)dx+{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x) } =\frac { { y }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{2 }(x)$$

Gleichsetzen:

$$\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)=\frac { { y }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x)\\ \Longleftrightarrow \frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 1 }+{ C }_{ 1 }(y)=\frac { { y }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +{ C }_{ 2 }+{ C }_{ 2 }(x)$$

Wie kann ich denn hier weitermachen?

Comments

"Bestimmen Sie das vollständige Differential und berechnen Sie die Funktion: ..."

Der zweite Teil ist ja wohl so Quatsch, wenn die Funktion unmittelbar folgt. Was soll man denn da noch berechnen? Bitte eine korrekte Aufgabenstellung.

Answer 1

und berechnen Sie die Funktion:

Welche Funktion ?!

Was man berechnen könnte, wären die kritischen Stellen, also wo die ersten Ableitungen Null sind.

$$ \frac {\partial \, f(x,y)}{\partial x}=0 $$

$$ \frac {\partial \, f(x,y)}{\partial y}=0 $$

Dann noch die Hesse-Matrix, (2. Ableitungen), um zu prüfen, welche Eigenschaften die kritischen Stellen haben.

$$\begin{pmatrix}   \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial x \, \partial x} &  \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial x \, \partial y} \\  \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial y \, \partial x} &  \frac {\partial^2 \, f(x,y)}{\partial y \, \partial y} \end{pmatrix} $$