Ungleichungen - kleinste natürliche Lösung

Question

ich habe zwei Ungleichungen gegeben:

y < a * x und y > b * x es gilt dabei a > b, sowie x∈ℕ und a,b∈ℚ.

Nun suche ich das kleinstmögliche x, für das ein k∈ℕ existiert, dass die folgende Eigenschaft erfüllt:$$bx<k<ax$$Mit welchem Verfahren kann man eine solche Aufgabe am besten lösen? Bzw. geht es überhaupt? Wäre für Tipps und Ratschläge (oder Lösungen ^^) sehr dankbar.

Gruß
EmNero

Answer 1

Hi EmNero,

folgenden Gedanken hast du bestimmt selbst schon gehabt: Aus den Voraussetzungen suchen wir \(x\in \mathbb{N} \) mit:

$$ ax -bx > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{a-b} $$

Das es eine kleinste natürliche Zahl gibt, die diese Ungleichung erfüllt sollte klar sein.

Diese kleinste natürliche Zahl ist:

$$ x = \left \lfloor \frac{1}{a-b} \right \rfloor +1 $$

Edit: Antwort nicht allgemein korrekt, siehe Diskussion in den Kommentaren.

Gruß

Comments

Hi Yakyu,

Habe heute mal meine Freistunde genutzt und etwas herumprobiert ^^

Betrachten wir einfach mal die Ungleichungen

y < 1.667x und y > 1.666(3)x

Nach der bisherigen Formel wäre das kleinste x:
$$ \left\lfloor \frac { 1 }{ 1,667-1,666\overline { 3 }  }  \right\rfloor +1=\left\lfloor \frac { 1 }{ 0,000\overline { 6 }  }  \right\rfloor +1=\left\lfloor 1500 \right\rfloor +1=1501$$

Jetzt musste ich aber feststellen, dass für x=3:

3*1,667=5,001 und 3*1,666(3)=4,999

ein k existiert nämlich k=5.

Man sieht schon ax-bx>1 muss nicht unbedingt erfüllt sein, deswegen bin ich dann zu dem Entschluss gekommen, dass das Folgende gelten muss:

$$ \left\lceil ax \right\rceil -\left\lfloor bx \right\rfloor \ge 2 $$

Das kleinste x erfüllt also die Gleichung:

$$ \left\lceil ax \right\rceil -\left\lfloor bx \right\rfloor -2=0 $$

Was meinst du dazu?

Gruß
EmNero

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Super, du hast vollkommen Recht. Ich war mit der Antwort viel zu voreilig, sorry.

Den restlichen Überlegungen stimme ich zu, insbesondere suchen wir das kleinste \(x\) für das gilt:

$$ \lfloor ax \rfloor = \lceil bx \rceil $$

Im Grunde interessiert uns nur der Bereich: \( 0<b<a<1 \).

Was wir benötigen, wäre ein vollständig gekürzter Bruch \( \frac{k}{x} \) mit

$$ a > \frac{k}{x} > b $$ und \(x \in \mathbb{N} \) minimal.

Was bedeutet eigentlich das \(y\) in deiner Frage? Ist das gegeben? Ist es eine natürliche Zahl?

Solle dies nämlich eine Rolle in der Aufgabe spielen, so vereinfacht sich das ganze erheblich!

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Ne das ist y ist einfach nur eine Variable ohne besondere Bedeutung. Es gilt y∈R mit bx <y <ax. Die Menge aller y ist Y, dementsprechend gilt k∈Y.

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Hmmm und ich dachte das Problem wäre relativ trivial ^^

Für:

(5/3)*x < k < (51/30)*x

für x = 3

5 < k < 5,1

$$ \left\lceil 5 \right\rceil =\left\lfloor 5,1 \right\rfloor $$x=3 ist aber keine Lösung, da es keine natürliche Zahl k gibt die 5 < k < 5,1 erfüllt :S

Gruß

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Ja die Gleichung versagt als Bedingung wenn ax oder bx natürliche Zahlen sind. Ich werde wohl noch weiter grübeln müssen.

Woher stammt die Aufgabe?

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Wie ich auf die Fragestellung gekommen bin weiß ich nicht mehr so genau... das ist schon etwas länger her und hab sie dann mal ungelöst zur Seite gelegt. War bestimmt ein Produkt der Langeweile im Unterricht. Jetzt bin ich beim stöbern wieder drauf gestoßen und es ist immer noch eine interessante Frage ^^ Naja reintheoretisch könnte man es jetzt mit einem ziemlich einfachen Script berechnen lassen, aber ob eine solch berechnete Lösung aussagekräftig ist? Prinzipiell solange probieren bis das kleinste x gefunden wurde...

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Mit nem Programm ist die Lösung ja kein Problem, aber ich denke was dich interessiert wäre eine allgemeine kurze Vorgehensweise mit der man das kleinste x angeben kann.

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So,

eine allgemeine Vorgehensweise wäre schon eine nette Sache, aber ich glaube da kommen wir nicht wirklich weiter... Ich denke mit

$$ \left\lceil ax \right\rceil -\left\lfloor bx \right\rfloor -2\ge 0 $$

ist schon eine (Un)gleichung gegeben, die mit einem Computerprogramm schnell gelöst werden kann. Was sein kann:

a=c/d und b=e/f

$$x<kgV( d, f )$$

aber da bin ich mir wirklich nicht so sicher und ich hatte noch nicht genug Zeit diese Theorie zu überprüfen... Wenn es so wäre könnte man sogar noch die maximale Berechnungszeit ermitteln.

Gruß

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Naja das mit dem Programm finde ich persönlich wenig interessant, da man ein solches mit minimalen Kenntnissen erstellen kann.  

Was zum Beispiel immer eine Lösung bringt ist: 

Wenn \( \frac{b}{d} < \frac{k}{x} < \frac{a}{c} \), wähle \( \frac{k}{x} = \frac{a+b}{c+d} \) und kürze vollständig. In manchen Fällen ist \(x\) sogar minimal, in anderen aber auch nicht also führt dies nicht immer zum Ziel.

Was interessant wäre: 

https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree

Vorgehensweise:

Man kann ja jede rationale Zahl als endlichen Kettenbruch darstellen. Vergleicht man nun die Kettenbrüche von \(a\) und \(b\) dann übernimmt man den Stamm, den beide gemeinsam haben. Da wo sich die Entwicklungen zuerst unterscheidet nimmt man die geeignete Zahl dazwischen. 

Beispiel:
$$\Large  a = \frac{5}{7} = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}} $$ 

$$\Large b = \frac{4}{7} = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}} $$

Dann wählen wir:

$$\Large \frac{k}{x} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} $$

Kannst ja damit mal ein wenig rumbasteln ;).

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Das sieht doch schon wirklich ziemlich vielversprechend aus. Nach so einer Anordnung der rationalen Zahlen hatte ich auch schon vergebens gesucht... Dann werde ich mal meine Ferien nutzen und ein wenig rumbasteln und schauen wohin mich das führt und ob ich die vom Computer ermittelten Lösungen auch auf dem Papier hin bekomme. Vielen Dank für den interessanten Ansatz :)

Answer 2

Hi, auf die Schnelle komme ich auf

$$ x = \left\lceil\frac { k }{ a } \right\rceil $$wobei die Klammer die obere Gauß-Klammer ist.

Comments

daraus ergibt sich das Problem, dass ich das k ja auch nicht kenne ^^
Betrachten wir mal 4,9x<k<5x $$ \left\lceil \frac { 54 }{ 5 }  \right\rceil =11 $$$$ \left\lceil \frac { 53 }{ 5 }  \right\rceil =11 $$x=11 und k=54 ist eine Lösung, aber x=11 und k=53 nicht.
Ich habe schon an etwas wie $$ x={ (a-b) }^{ -1 }+1 $$ gedacht, aber das scheint mir auch nicht allgemein gültig zu sein...
Gruß
EmNero