Logarithmus in der Hochzahl? Wie löst man solche Gleichungen: x^log2x +32x^{-log2x}= 18?

Question

Wie löst man eine Gleichung  bei der ein Logarithmus in der Hochzahl steht?

zum Beispiel diese hier:            x^log₂x +32x^-log₂x = 18

Answer 1

Zunächst solltest du substituieren

z + 32/z = 18 --> z = 16 ∨ z = 2

Jetzt schreibst du den term den du ersetzt hattest mal um

x^{LOG₂x} = (e^{LNx})^{LNx/LN2} = e^{LN²x/LN2}

Nun resubstituiert du

e^{LN²x/LN2} = 16 --> x = 1/4 ∨ x = 4

e^{LN²x/LN2} = 2 --> x = 1/2 ∨ x = 2

Answer 2

x^log₂x +32x^-log₂x = 18

am besten Substitution   z = x ^{log ₂ ( x)} dann hast du

z + 32 / z = 18

z^2 + 32 = 18z

z^2 - 18z + 32 = 0  mit pq-Formel gibt das:

z = 16 0der z = 2

wieder zurück

16 = x ^{log ₂ ( x)}         2 = x ^{log ₂ ( x)}   

hier muss man wohl etwas raten

 1. Lösung:  16 = 4^2 und log ₂ (4) = 2 also passt x=4 oder

2. Lösung : 2 = 2^1 und log ₂ (2) =1 also passt hier x=2